Ідеальна точка

Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.

Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:

• Всі ідеальні трикутники конгруентні.
• Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю.
• Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
• Будь-який ідеальний трикутник має площу ${\displaystyle \pi /(-K)}$, де ${\displaystyle K}$ дорівнює (від'ємній) кривині площини[4].

Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.

Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:

• Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
• Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
• Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу ${\displaystyle 2\pi /(-K)}$, де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.

Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.

Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії[5].

n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).

Якщо дано дві різні точки ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (вважається, що точки йдуть в порядку ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle b}$), так що ${\displaystyle \left|aq\right|>\left|ap\right|}$ і ${\displaystyle \left|pb\right|>\left|qb\right|}$. Тоді гіперболічна відстань між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ виражається формулою

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}}.}$

Якщо задано дві різні точки ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (вважається, що точки йдуть у порядку ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle b}$), так що ${\displaystyle \left|aq\right|>\left|ap\right|}$ і ${\displaystyle \left|pb\right|>\left|qb\right|}$. Тоді гіперболічна відстань між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ виражається формулою

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}}}$

Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків ${\displaystyle aq}$, ${\displaystyle ap}$, ${\displaystyle pb}$, ${\displaystyle qb}$.

У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі ${\displaystyle y}$, наближаються до неї).

У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.