Гіперболоїдна модель

Якщо ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})}$ є векторами в (n + 1)-вимірному координатному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, квадратична форма Мінковського визначається як

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$

Вектори ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n+1}}$, такі, що ${\displaystyle Q(v)=1}$, утворюють n-вимірний гіперболоїд S, що складається з двох зв'язаних компонент, або листків - верхній, або майбутнє, лист ${\displaystyle S^{+}}$, де ${\displaystyle x_{0}>0}$ і нижній, або минуле, лист ${\displaystyle S^{-}}$, де ${\displaystyle x_{0}<0}$. Точки n-вимірної гіперболоїдної моделі є точками на листку майбутнього ${\displaystyle S^{+}}$.

Білінійна форма Мінковського B є поляризацією квадратичної форми Мінковського Q,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

Або в явному вигляді,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

Гіперболічна відстань між двома точками u і v простору ${\displaystyle S^{+}}$ задають формулою ${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))}$,

де arch — обернена функція гіперболічного косинуса.

Пряма в гіперболічному n-просторі моделюється геодезичною на гіперболоїді. Геодезична на гіперболоїді є (непорожнім) перетином з двовимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) n+1-вимірного простору Мінковського. Якщо ми візьмемо як u і v базисні вектори лінійного підпростору з

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

і використаємо w як параметр для точок на геодезичній, то

${\displaystyle \mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w}$

буде точкою на геодезичній[1].

Загальніше, k-вимірна «площина» в гіперболічному n-просторі моделюватиметься (непорожнім) перетином гіперболоїда з k+1-вимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) простору Мінковського.

Невизначена ортогональна група O(1,n), звана також (n+1)-вимірною групою Лоренца, є групою Лі дійсних (n+1)×(n+1) матриць, яка зберігає білінійну форму Мінковського. Іншими словами, це група лінійних рухів простору Мінковського. Зокрема, ця група зберігає гіперболоїд S. Нагадаємо, що невизначені ортогональні групи мають чотири зв'язані компоненти, які відповідають оберненню або збереженню орієнтації на кожному підпросторі (тут — 1-вимірному і n-вимірному), і утворюють 4-групу Кляйна. Підгрупа O(1,n), яка зберігає знак першої координати, є ортохронною групою Лоренца, що позначається O⁺(1,n), і має дві компоненти, які відповідають збереженню або оберненню орієнтації підпростору. Її підгрупа SO⁺(1,n), що складається з матриць з визначником одиниця, є зв'язаною групою Лі розмірності n(n+1)/2, яка діє на S⁺ лінійними автоморфізмами і зберігає гіперболічну відстань. Ця дія транзитивна і є стабілізатором вектора (1,0,…, 0), що складається з матриць вигляду

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle A}$ належить до компактної спеціальної ортогональної групи SO(n) (яка узагальнює групу обертань SO(3) для n = 3). Звідси випливає, що n-вимірний гіперболічний простір можна подати як однорідний простір і Ріманів симетричний простір рангу 1,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

Група SO⁺(1,n) є повною групою рухів n-вимірного гіперболічного простору, що зберігають орієнтацію.

• У кількох статтях між 1878 і 1885 Вільгельм Кіллінг[2][3][4] використав подання геометрії Лобачевського, яке він приписує Карлу Веєрштрассу. Зокрема, він обговорює квадратичні форми, такі як ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ або для довільних розмірностей ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$, де ${\displaystyle k}$ є двоїстою мірою кривини, ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ означає Евклідову геометрію, ${\displaystyle k^{2}>0}$ еліптичну геометрію, а ${\displaystyle k^{2}<0}$ означає гіперболічну геометрію.

• За Джеремі Ґреєм (1986)[5] Пуанкаре використав гіперболоїдну модель у його персональних нотатках 1880 року. Пуанкаре опублікував свої результати в 1881, у яких він обговорює інваріантність квадратичної форми ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$[6]. Ґрей показує, де гіперболоїдна модель явно згадується в пізніших роботах Пуанкаре[7]. Докладніше див. Історія перетворень Лоренца, розділ «Пуанкаре».

• Також Гомершем Кокс у 1882[8][9] використав координати Веєрштрасса (без зазначення цього імені), що задовольняють співвідношенню ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$, а також співвідношенню ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$.

• Далі модель використали Альфред Клебш і Фердинанд фон Ліндеман 1891 року при обговоренні співвідношень ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ і ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$[10].

• Координати Веєрштрасса використовували також Ґерард (1892), Гаусдорф (1899), Вудс (1903) і Лібман (1905).

Пізніше (1885) Кілінг стверджував, що фраза координати Веєрштрасса співвідноситься з елементами гіперболоїдної моделі так: якщо задано скалярний добуток ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, координати Веєрштрасса точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ дорівнюють

${\displaystyle (x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1},}$

що можна порівняти з виразом

${\displaystyle (x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1}}$

для моделі півсфери[11].

Як метричний простір гіперболоїд розглядав Александер Макфарлейн у книзі Papers in Space Analysis (1894). Він зауважив, що точки на гіперболоїді можна записати як

${\displaystyle \mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,}$

де α є базисним вектором, ортогональним до осі гіперболоїда. Наприклад, він отримав гіперболічний закон косинусів, використавши алгебри фізики[1].

Х. Дженсен сфокусувався на гіперболоїдній моделі в статті 1909 року «Подання гіперболічної геометрії на двопорожнинному гіперболоїді»[12]. 1993 року У. Ф. Рейнольдс виклав ранню історію моделі в статті, надрукованій у журналі American Mathematical Monthly[13].

Як загальновизнану модель у XX столітті, її ототожнив з Geschwindigkeitsvectoren (нім. векторами швидкості) Герман Мінковський у просторі Мінковського. Скотт Вальтер у статті 1999 року «Неевклідів стиль спеціальної теорії відносності»[14] згадує обізнаність Мінковського, але виводить походження моделі від Гельмгольца, а не від Веєрштрасса чи Кіллінга.

У ранні роки Владимир Варичак використовував релятивістську гіперболоїдну модель для пояснення фізики швидкості. У його доповіді в Німецькому математичному товаристві 1912 року він посилався на координати Веєрштрасса[15].

• Конформно-евклідова модель
• Гіперболічний кватерніон