Вершинно-транзитивний граф
В теорії графів вершинно-транзитивним графом називається граф G такий, що для будь-яких двох вершин v1 і v2 графу G існує автоморфізм
такий, що
Іншими словами граф вершинно-транзитивний, якщо його група автоморфізму діє транзитивно щодо вершин[1]. Граф вершинно-транзитивний тоді і тільки тоді, коли результати автоморфізмів його доповнення ідентичні.
Будь-який симетричний граф без ізольованих вершин є вершинно-транзитивним, і будь-який вершинно-транзитивний граф є регулярним. Однак не всі вершинно-транзитивні графи симетричні (наприклад, ребра зрізаного тетраедра), і не всі регулярні графи вершинно-транзитивні (наприклад, граф Фрухта і граф Тітце).
Приклади скінченних графів
Множина скінченних вершинно-транзитивних графів включає симетричні графи (такі як граф Петерсена, граф Хівуда і вершини та ребра правильних багатогранників). Скінченні графи Келі (такі як сполучені в куб цикли) є вершинно-транзитивними, як і вершини і ребра архімедового тіла (хоча тільки 2 з них симетричні). Поточнік, Спіга і Веррет (Primoz Potočnik, Pablo Spiga, Gabriel Verret) створили перепис всіх зв'язних кубічних (тобто з вершинами степеня 3) вершинно-транзитивних графів з кількістю вершин, що не перевищує 1280[2].
Властивості
Реберна зв'язність вершинно-транзитивного графу дорівнює степеню d, в той час як вершинна зв'язність буде принаймні 2(d+1)/3[3]. Якщо степінь дорівнює 4 або менше, або граф також реберно-транзитивний, або граф є мінімальним графом Келі, то вершинна зв'язність буде рівною d[4].
Приклади нескінченних графів
До нескінченних вершинно-транзитивних графів належать:
- нескінченні шляхи (нескінченні в обох напрямках);
- нескінченні регулярні дерева, тобто граф Келі вільної групи;
- графи однорідних паркетів (див. повний список паркетів на площині), включно зі всіма паркетами з правильних багатокутників;
- нескінченні графи Келі;
- Графи Радо.
Два зліченних вершинно-транзитивних графи називаються квазіізометричними, якщо відношення їхніх функцій відстані обмежене знизу і зверху. Відома гіпотеза стверджує, що будь-який нескінченний вершинно-транзитивний граф квазіізоморфний графу Келі. Контрприклад був наведений Райнхардом Дістелем та Імре Лідером у 2001-му році[5]. У 2005-му році Ескін, Фішер і Вайт підтвердили правильність контрприкладу[6].
Див. також
- Реберно-транзитивний граф
- Гіпотеза Ловаса про гамільтонів цикл
- Напівсиметричний граф
Примітки
- Chris Godsil, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York : Springer-Verlag, 2001. — Т. 207.
- Potočnik P., Spiga P. and Verret G. (2012). Cubic vertex-transitive graphs on up to 1280 vertices. Journal of Symbolic Computation.
- Godsil, C. and Royle, G. Algebraic Graph Theory. — Springer Verlag, 2001.
- Babai, L. Technical Report TR-94-10. — University of Chicago, 1996.アーカイブされたコピー. Архів оригіналу за 11 червня 2010. Процитовано 29 серпня 2010.
- Reinhard Diestel, Imre Leader. . — Т. 14. — DOI:.
- Alex Eskin, David Fisher, Kevin Whyte. Quasi-isometries and rigidity of solvable groups. — 2005.
Посилання
- A census of small connected cubic vertex-transitive graphs Архівовано 7 березня 2016 у Wayback Machine.. Primož Potočnik, Pablo Spiga, Gabriel Verret, 2012.