Від'ємний біноміальний розподіл

Нехай ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}$

Побудуємо випадкову величину ${\displaystyle Y}$ наступним чином. Нехай ${\displaystyle k+r}$ — номер ${\displaystyle r}$-го успіху в цій послідовності. Тоді ${\displaystyle Y=k}$. Більш строго, покладемо ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тоді

${\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}$.

Розподіл випадкової величини ${\displaystyle Y}$, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}$.

Функція ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle Y}$ має вигляд:

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }$.

Функція розподілу ${\displaystyle Y}$ кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

${\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}$.

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$,

звідки

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=r{\frac {q}{p}}}$,