Еліптичний розподіл

Еліптичні розподіли визначаються з точки зору характеристичних функцій у теорії ймовірностей. Випадковий вектор ${\displaystyle X}$ на евклідовому просторі має еліптичний розподіл якщо його характеристична функція ${\displaystyle \phi }$ задовольняє наступному функціональному рівнянню ( для кожного стовпця-вектора ${\displaystyle t}$)

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

для деякого коефіцієнту зсуву ${\displaystyle \mu }$, деякої невід’ємно-визначеної матриці ${\displaystyle \Sigma }$ і деякої скалярної функції ${\displaystyle \psi }$.[1] Визначення еліптичних розподілів для реальних випадкових векторів було розширено для розміщення випадкових векторів в евклідових просторах над полями комплексних чисел, що полегшує застосування в аналізі часових рядів.[2] Доступні обчислювальні методи для генерування псевдовипадкових векторів з еліптичними розподілами, для використання, наприклад, у методі Монте-Карло у комп’ютерному моделюванні.[3]

Деякі еліптичні розподіли мають альтернативне визначення з точки зору їх функції щільності. Еліптичний розподіл з функцією щільності f має вигляд:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

де ${\displaystyle k}$ - нормуюча константа, ${\displaystyle x}$ є ${\displaystyle n}$-вимірною випадковою величиною з медіанним вектором ${\displaystyle \mu }$ (який також є вектором середніх значень, якщо останній існує), а ${\displaystyle \Sigma }$ є позитивно визначеною матрицею, яка є пропорційною до коваріаційної матриці, якщо остання існує.[4]

У двовимірному випадку, якщо щільність існує, кожен локус рівної щільності (множина пар x₁, x₂, які надають певне значення ${\displaystyle f(x)}$) є еліпсом або об'єднанням еліпсів (звідси і назва еліптичний розподіл). Більш загально, для довільного n, локуси ізо-щільності є об'єднаннями еліпсоїдів. Усі ці еліпсоїди або еліпси мають спільний центр μ і є масштабованими копіями (гомотетами) один одного.

Багатовимірний нормальний розподіл - це особливий випадок, коли ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$. Хоча багатовимірний нормальний розподіл необмежений (кожен елемент ${\displaystyle x}$ може приймати довільно великі позитивні або негативні значення з ненульовою ймовірністю, оскільки ${\displaystyle e^{-z/2}>0}$ для всіх невід’ємних ${\displaystyle z}$), загалом еліптичні розподіли можуть бути обмеженими або необмеженими - такий розподіл обмежений, якщо ${\displaystyle g(z)=0}$ для всіх ${\displaystyle z}$ більше деякого значення.

Існують еліптичні розподіли, у яких не визначене середнє, наприклад розподіл Коші (навіть у одновимірному випадку). Оскільки змінна x входить у функцію щільності квадратично, усі еліптичні розподіли є симетричними відносно ${\displaystyle \mu .}$

Якщо дві підмножини спільного еліптичного випадкового вектора є некорельованими, то, якщо їх середні існують, вони є незалежними середніми одне від одного (середнє значення кожного підвектора, обумовлене значенням іншого підвектора, дорівнює безумовному середньому).[8]

Якщо випадковий вектор X розподілений еліптично, то це вірно і для DX для будь-якої матриці D із повним рангом рядка. Таким чином, будь-яка лінійна комбінація компонентів X є еліптичною (хоча і не обов'язково з однаковим еліптичним розподілом), а будь-яка підмножина X є еліптичною.[8]

Еліптичні розподіли використовуються в статистиці та економіці.

У математичній економіці еліптичні розподіли використовувались для опису портфелів у фінансовій математиці.[9][10]

• Anderson, T. W. (2004). An introduction to multivariate statistical analysis (вид. 3rd). New York: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
• Cambanis, Stamatis; Huang, Steel; Simons, Gordon (1981). On the theory of elliptically contoured distributions. Journal of Multivariate Analysis 11 (3): 368–385. doi:10.1016/0047-259x(81)90082-8. Проігноровано невідомий параметр |doi-access= (довідка)
• Chamberlain, G. (1983). "A characterization of the distributions that imply mean-variance utility functions", Journal of Economic Theory 29, 185–201. DOI:10.1016/0022-0531(83)90129-1
• Fang, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Generalized multivariate analysis. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin). ISBN 3540176519. OCLC 622932253.
• Fang, Kai-Tai; Kotz, Samuel; Ng, Kai Wang ("Kai-Wang" on front cover) (1990). Symmetric multivariate and related distributions. Monographs on statistics and applied probability 36. London: Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304. OCLC 123206055.
• Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas; Bodnar, Taras (2013). Elliptically contoured models in statistics and portfolio theory (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4614-8153-9. doi:10.1007/978-1-4614-8154-6.

  Originally Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas (1993). Elliptically contoured models in statistics. Mathematics and Its Applications (вид. 1st). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.

• Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich (2005). Advanced multivariate statistics with matrices. Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Owen, J., and Rabinovitch, R. (1983). "On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice", Journal of Finance 38, 745–752. JSTOR 2328079
• Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). Growth curve models and statistical diagnostics. Springer series in statistics. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (New York). ISBN 9780387950532. OCLC 44162563. doi:10.1007/978-0-387-21812-0.
• Fang, Kai-Tai; Anderson, T. W., ред. (1990). Statistical inference in elliptically contoured and related distributions. New York: Allerton Press. ISBN 0898640482. OCLC 20490516. A collection of papers.