Запилена плазма

Термічною плазмою називають таку плазму, в якої температури усіх її компонент є рівними. Отже, ${\displaystyle T_{\text{p}}=T_{\text{e}}=T_{\text{i}}\equiv T}$. В цьому випадку домінуючим буде поцес термоелектроної емісії з пилинок, та пилинки будуть мати позитивний заряд.

Припускаючи, що процес заряджання пилинок в плазмі можна описати як процес іонізації нейтральних атомів, будемо користуватися рівнянням Саха:

${\displaystyle {\frac {n_{\text{p}}^{(z)}n_{\text{e}}}{n_{\text{p}}^{(z-1)}}}=K_{z}}$.

Оскільки пилинки заряджаються, то електронам треба здійсніти додаткову роботу проти сил електростатичного поля. Вважаючи, що електрони відходять на нескінченність та нехтуючи екрануванням, константи рівноваги можна подати у вигляді

${\displaystyle K_{z}=n_{\text{es}}\exp \left(-{\frac {ze^{2}}{r_{\text{p}}T}}\right)}$,

де ${\displaystyle n_{\text{es}}=2(2\pi m_{\text{e}}T/h^{2})^{3/2}\exp(-W_{0}/T)}$ — рівноважна густина електронів вблизу поверхні емітуючої частинки, ${\displaystyle n_{\text{e}}}$ — середня густина електронів в плазмі, ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ — масса електрона.

З рівняння Саха легко отримати для густини пилинок із зарядом ${\displaystyle z}$ наступний вираз:

${\displaystyle n_{\text{p}}^{(z)}=\prod \limits _{i=0}^{z-1}{\frac {K_{z}}{n_{\text{e}}}}}$.

В свою чергу, середні густини пилинок та електронів дорівнюють:

${\displaystyle n_{\text{p}}=\sum \limits _{z=-\infty }^{\infty }n_{\text{p}}^{(z)}}$ , ${\displaystyle n_{\text{e}}=\sum \limits _{z=-\infty }^{\infty }zn_{\text{p}}^{(z)}}$

З умови електронейтральності ${\displaystyle n_{\text{e}}=Zn_{\text{p}}}$ отримуємо остаточно вираз для середнього значення заряду пилинок:

${\displaystyle Z={\frac {\sum \limits _{z=-\infty }^{\infty }z\exp \left(-{\frac {z(z-1)e^{2}}{2r_{\text{p}}T}}+z\ln {\frac {n_{\text{es}}}{n_{\text{e}}}}\right)}{\sum \limits _{z=-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {z(z-1)e^{2}}{2r_{\text{p}}T}}+z\ln {\frac {n_{\text{es}}}{n_{\text{e}}}}\right)}}.}$

У граничному випадку великих зарядів цей вираз переходить у

${\displaystyle Z={\frac {Tr_{\text{p}}}{e^{2}}}\ln {\frac {n_{\text{es}}}{n_{\text{e}}}}+{\frac {1}{2}}}$.

У випадку, коли температура пилинок, нейтралів та іонів набато менше температури електронів, емісійні процеси є відсутніми, та основним механізмом заряджання пилинок є захоплення зарядів із плазми, що оточує пилинки. Оскільки теплова швидкість електронів набагато перевищую теплову швидкість іонів, то заряд на пилинках в середньому буде негативним. Для оцінки середнього значення заряду ${\displaystyle Z}$ пилинок часто використовують так зване наближення обмеженного орбітального руху.

Це наближення є застосовним у випадку

${\displaystyle r_{\text{p}}\ll r_{\text{D}}\ll \ell _{e(i)}}$,

де ${\displaystyle r_{\text{D}}}$ — радіус Дебая пилинки, ${\displaystyle \ell _{e(i)}}$ — довжина вільного пробігу електронів (іонів) в плазмі.

Перетини розсіювання електронів та іонів є рівними

${\displaystyle \sigma _{\text{e}}(v)={\begin{cases}\pi r_{\text{p}}^{2}\left(1+{\frac {2e\phi _{\text{s}}}{m_{\text{e}}v^{2}}}\right),&v>{\sqrt {\frac {2e\phi _{\text{s}}}{m_{e}}}};\\0,&v\leq {\sqrt {\frac {2e\phi _{\text{s}}}{m_{\text{e}}}}};\end{cases}}\quad \quad \sigma _{i}(v)=\pi r_{\text{p}}^{2}\left(1-{\frac {2e\phi _{\text{s}}}{m_{i}v^{2}}}\right).}$

Далі, вимагаючи, щоб потоки електронів та іонів на пилинку

${\displaystyle I_{e(i)}=n_{e(i)}\int v\sigma _{e(i)}(v)f_{e(i)}(v)d^{3}v}$,

де ${\displaystyle f_{e(i)}(v)}$ — відповідно максвелівські функції розподілу за швидкостями для електронів (іонів).

З умови рівності потоків, ${\displaystyle I_{e}=I_{i}}$, отримаємо трансцендентне рівняння для заряду пилинки:

${\displaystyle e^{-z}={\frac {n_{e}}{n_{i}}}\left({\frac {\mu }{\tau }}\right)^{1/2}(1+z\tau ),}$

де безрозмірні параметри дорівнюють відповідно

${\displaystyle z={\frac {|Z|e^{2}}{r_{\text{p}}T_{e}}},\quad \tau ={\frac {T_{e}}{T_{i}}},\quad \mu ={\frac {m_{e}}{m_{i}}}.}$

Гравітаційну силу можна визначити стандартним чином:

${\displaystyle F_{g}=m_{\text{p}}g}$,

де ${\displaystyle g}$ — прискорення вільного падіння. Таким чином, гравітаційна сила є пропорційною до об'єму частинки, ${\displaystyle F_{g}\sim r_{\text{p}}^{3}}$.

При русі в середовищі на пилинки діє сила з боку цього середовища, яка гальмує пилинки. Оскільки швидкість руху пилинок набагато менше теплової швидкості нейтральних атомів (молекул), то сила опору виявляється пропорційною до швидкості пилинок. В залежності від значення числа Кнудсена ${\displaystyle {\text{Kn}}}$, виділяють два випадки. При ${\displaystyle {\text{Kn}}\ll 1}$ кажуть про гидрадинамічний режим[14], та сила опору визначається формулою Стокса:

${\displaystyle F_{n}=-6\pi \eta r_{\text{p}}u}$,

де ${\displaystyle \eta }$ — в'язкість нейтрального газу, а ${\displaystyle u}$ — швидкість руху пилинки відносно нейтрального газу. При ${\displaystyle {\text{Kn}}\gg 1}$ відносна швидкість ${\displaystyle u}$ є малою в порівнянні з тепловою швидкістю нейтралів ${\displaystyle v_{T{\text{n}}}}$, та сила опору може бути записана наступним чином[15]

${\displaystyle F_{n}=-{\frac {8{\sqrt {2\pi }}}{3}}\gamma r_{\text{p}}^{2}n_{\text{n}}{\frac {u}{v_{T{\text{n}}}}}}$ ,

де ${\displaystyle n_{\text{n}}}$ та ${\displaystyle T_{\text{n}}}$ — густина та температура нейтралів відповідно, ${\displaystyle \gamma }$ — коефіцієнт порядку одиниці, який визначається особистостями взаємодії нейтралів з поверхнею пилинки.

На заряд ${\displaystyle q}$, який рухається зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в електромагнітному полі з напруженістю електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ та індукцією ${\displaystyle \mathbf {B} }$ діє сила Лоренца

${\displaystyle \mathbf {F} _{L}=q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]}$.

У випадку відсутності зовнішнього магнітного поля на пилинку в плазмі буде діяти сила ${\displaystyle \mathbf {F} _{L}=Ze\mathbf {E} _{\text{eff}}}$. Можна показати[16], що ефективна напруженість електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{eff}}}$ в дорівнює

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{eff}}=\mathbf {E} \left[1+{\frac {(r_{\text{p}}/r_{\text{D}})^{2}}{3(1+r_{\text{p}}/r_{\text{D}})}}\right]}$,

де ${\displaystyle r_{\text{D}}}$ — радіус Дебая пилинки.