Розподіл Максвелла — Больцмана

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

${\displaystyle p_{k}=n_{k}/N=e^{(\mu -\varepsilon _{k})/k_{B}T}=Ae^{(-\varepsilon _{k})/k_{B}T}}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана, N — число частинок.

${\displaystyle A=e^{(\mu )/k_{B}T}}$ — параметр виродження.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

${\displaystyle \sum _{k}n_{k}=N.}$.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли ${\displaystyle p_{k}\ll 1}$. Ця умова реалізується при високих температурах.

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку ${\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {p} +d\mathbf {p} )}$ визначається формулою:

${\displaystyle dn_{\mathbf {p} }={\frac {N}{V(2\pi mk_{B}T)^{3/2}}}e^{-p^{2}/2mk_{B}T}dp_{x}dp_{y}dp_{z}}$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

${\displaystyle dn_{\mathbf {v} }={\frac {N}{V}}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-mv^{2}/2k_{B}T}dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$.

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=n_{0}e^{-U(\mathbf {r} )/k_{B}T}}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

${\displaystyle n(z)=n_{0}e^{-mgz/k_{B}T}}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

• Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями
• Статистика Бозе — Ейнштейна
• Статистика Фермі — Дірака

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.
• Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

• [http://lp.edu.ua//fileadmin/IPMFN/KF/zachek/zachek10_Word.doc^{[недоступне посилання з червня 2019]} Елементи фізики твердого тіла]^{[недоступне посилання з жовтня 2019]}