Кільце Горенштейна

Нетерове локальне кільце R з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і полем лишків k розмірності n є кільцем Горенштейна тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних еквівалентних умов (${\displaystyle \operatorname {Ext} }$позначає функтор Ext):

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ для всіх i < n і ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• Для будь-якої максимальної регулярної послідовності ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ідеал ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ є незвідним, тобто не є перетином двох строго більших ідеалів.
• Функтор ${\displaystyle M\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,R)}$ на категорії R-модулів скінченної довжини, ізоморфний функтору ${\displaystyle M\to \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$ де I — ін'єктивна оболонка поля k.
• Кільце R є кільцем Коена — Маколея і локальна когомологія ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}}$ збігається з ін'єктивною оболонкою поля k.
• Для будь-якого скінченнопородженого R-модуля М існує канонічний ізоморфізм (локальна двоїстість):

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} \left(\operatorname {Ext} ^{n-i}(M,R),H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\right).}$

• Прикладами кілець Горенштейна є регулярні локальні кільця, а також їх факторкільця за ідеалами, породженими регулярними послідовностями елементів (повні перетини).
• Кільце R = k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²−xy) є 0-вимірним кільцем Горенштейна, що не є кільцем повних перетинів. Базисом R як k-векторного простору є множина ${\displaystyle \{1,x,y,z,z^{2}\}.}$ R є кільцем Горенштейна оскільки його цоколь має розмірність 1 як k-векторний простір, з базисним елементом z². Натомість R не є кільцем повних перетинів оскільки у нього є 3 породжуючі елементи і мінімальна множина із 5 зв'язків.

• Кільце R = k[x,y]/(x², y², xy) є 0-вимірним кільцем Коена — Маколея але не є кільцем Горенштейна. Базисом R як k-векторного простору є ${\displaystyle \{1,x,y\}.}$ R не є кільцем Горенштейна оскільки його цоколь має розмірність 2 як k-векторний простір, із базисом x і y.

• Локалізація кілець Горенштейна є кільцями Горенштейна.
• Нетерове локальне кільце є кільцем Горенштейна тоді і тільки тоді, коли його поповнення є кільцем Горенштейна.
• Нетерове локальне кільце R розмірності 0 є кільцем Горенштейна якщо і тільки якщо Hom_R(k, R) має розмірність 1 як k-векторний простір, де k є полем лишків кільця R. Еквівалентно, R має простий цоколь, як R-модуль.
• Нехай R — одновимірна область цілісності, ${\displaystyle {\bar {R}}}$ — ціле замикання R в полі часток, F — кондуктор R в ${\displaystyle {\bar {R}}}$. Нехай ${\displaystyle C=\dim _{k}{\bar {R}}/F}$ і ${\displaystyle \delta =\dim _{k}{\bar {R}}/F.}$ Тоді кільце R є кільцем Горенштейна тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle C=2\delta .}$

• Кільце Коена — Маколея

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41068-7. MR 1251956.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 0879273.