Цілозамкнута область

Багато важливих областей цілісності є цілозамкнутими:

• Будь-яка область головних ідеалів (зокрема, будь-яка поле).
• Будь-яке факторіальне кільце (і, як наслідок, будь-яке кільце многочленів над факторіальним кільцем): Нехай Q — поле часток факторіального кільця A i елемент ${\displaystyle r=a/b\in Q\;(a,b\in A)}$ — цілий над A : ${\displaystyle r^{m}+c_{1}r^{m-1}+\ldots +c_{m}=0,}$ де ${\displaystyle c_{i}\in A}$. Припустимо, що a i b не мають спільних дільників (за винятком оборотних елементів). Але ${\displaystyle a^{m}+c_{1}a^{m-1}b+\ldots +b^{m}c_{m}=0}$, отже, ${\displaystyle a^{m}}$ ділиться на b, що можливо лише якщо b є оборотним. Тому, ${\displaystyle 1/b\in A}$ , і звідси ${\displaystyle r\in A}$.
• Будь-яка область найбільших спільних дільників (зокрема, кільце Безу чи кільце нормування).
• Будь-яке кільце Дедекінда є цілозамкнутою областю.
• Довільна симетрична алгебра над полем (оскільки кожна симетрична алгебра є є ізоморфною кільцю многочленів від кількох змінних над полем).
• Регулярні локальні кільця є цілозамкнутими.
• Приклад області цілісності, що не є цілозамкнутою: нехай k — поле і ${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}$ (A є підалгебра породжена t² і t³.) A і B мають однакове поле часток, і B є цілим замиканням кільця A (B є факторіальним кільцем) і тому, область A не є цілозамкнутою. Цей приклад пов'язаний з фактом, що плоска крива ${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$ має особливу точку на початку координат.

• Нехай A — цілозамкнута область. Для довільної мультиплікативної системи ${\displaystyle S\subset A}$ локалізація ${\displaystyle S^{-1}A}$ є цілозамкнутою областю.

Ототожнимо ${\displaystyle S^{-1}A}$ з підкільцем ${\displaystyle \{a/s|s\in S\}}$ поля часток ${\displaystyle Q}$. Припустимо, що ${\displaystyle r\in Q}$ є цілим над ${\displaystyle S^{-1}A}$, тобто ${\displaystyle r^{m}+c_{1}r^{m-1}+\ldots +c_{m}=0}$ де ${\displaystyle c_{i}=a_{i}/s}$(тут ${\displaystyle a_{i}\in A,\;s\in S;}$ очевидно, для всіх ${\displaystyle c_{i}}$ можна вибрати спільний знаменник). Тоді${\displaystyle (sr)^{m}+a_{1}(sr)^{m-1}+sa_{2}(sr)^{m-2}+\ldots +s^{m-1}a_{m}=0,}$ звідки ${\displaystyle sr\in A}$ i ${\displaystyle r=sr/s\in S^{-1}A.}$

• Для область цілісності A наступні умови є еквівалентними:

1. A є цілозамкнутою;
2. A_p (локалізація A за простим ідеалом p) є цілозамкнутою для кожного простого ідеалу p;
3. A_m є цілозамкнутою для кожного максимального ідеалу m.

Те що локалізації за максимальними і простими ідеалами є областями цілісності є наслідком попередньої властивості. Залишається лише довести, що якщо всі локалізації A за максимальними ідеалами є цілозамкнутими, то і A є цілозамкнутою.

Нехай елемент ${\displaystyle r\in Q}$ є цілим над A. Тоді він є цілим над всіма A_m для всіх максимальних ідеалів, звідки ${\displaystyle r\in \bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}}$. Тож залишається довести, що для довільної області цілісності ${\displaystyle A=\bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}}$.

Нехай ${\displaystyle r\in \bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}}$. Покладемо ${\displaystyle I=\{a\in A|ar\in A\}}$ . Ця множина є ідеалом в A і для кожного максимального ідеала m в кільці A ${\displaystyle I\not \subset m,}$ оскільки ${\displaystyle r\in A_{m}}$ може бути записаним як ${\displaystyle r=b/a}$ де ${\displaystyle a\in A\setminus m,\;b\in A}$, звідки ${\displaystyle a\in I\setminus m}$. Тому, ${\displaystyle I=A}$, отже, ${\displaystyle 1\in I}$ i ${\displaystyle r=1r\in A}$ .

• Натомість цілозамкнутість може не зберігатися при переході до факторкільця, наприклад кільце Z[t]/(t²+4) не є цілозамкнутим.
• Область цілісності є цілозамкнутою якщо і тільки якщо вона рівна перетину всіх кілець нормування, що містять її[1].
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і нехай L — скінченне розширення поля Q. Тоді елемент ${\displaystyle x\in L}$ є цілим над A, якщо і тільки якщо його мінімальний многочлен над Q має коефіцієнти у полі A.[2] Звідси випливає зокрема, що цілий елемент над цілозамкнутою областю A має мінімальний многочлен над A. Це твердження є сильнішим, ніж те, що будь-яка цілий елемент є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 і може бути неправильним без вимоги цілозамкнутості (наприклад для кільця ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}].}$): Розглянемо розширення ${\displaystyle L'\supseteq L}$, таке що ${\displaystyle \mu _{a}(x)=\prod _{i=1}^{m}(x-a_{i})}$ для деяких ${\displaystyle a_{i}\in L'}$. Оскільки ${\displaystyle \mu _{a}(x)}$ є незвідним, ${\displaystyle Q(a_{i})\equiv Q(a)}$ i цей ізоморфізм є тотожним на ${\displaystyle Q}$. Отже, кожен елемент ${\displaystyle a_{i}}$ є також цілим над A. Але коефіцієнти ${\displaystyle \mu _{a}(x)}$ є многочленами від ${\displaystyle a_{i}}$ з цілими коефіцієнтами (елементарними симетричними многочленами), отже, вони також цілі над A. Оскільки A є цілозамкнутою областю, то всі ці коефіцієнти належать A.
• Для цілозамкнутої області A з полем часток Q справедливою є версія леми Гауса: нехай ${\displaystyle f\in A[x]}$ — многочлен, старший коефіцієнт якого рівний 1. Нехай також ${\displaystyle f=gh}$ де ${\displaystyle f,g\in Q[x]}$ і старший коефіцієнт ${\displaystyle g}$ рівний 1. Тоді ${\displaystyle g\in A[x].}$

Достатньо довести це твердження для незвідного g. Розглянемо будь-який його корінь a в деякому розширенні поля Q. Оскільки ${\displaystyle f(a)=0}$ , то a є цілим над A. Але ${\displaystyle g(x)=\mu _{a}(x)}$ (оскільки g є незвідним), отже, згідно попередньої властивості, ${\displaystyle g\in A[x]}$.

• Якщо A — цілозамкнута область то кільце многочленів ${\displaystyle A[x]}$ теж буде цілозамкнутою областю.

Нехай ${\displaystyle f\in Q(x)=\operatorname {Frac} (A[x])}$ є цілим елементом над ${\displaystyle A[x]}$. Тоді він очевидно є також цілим над ${\displaystyle Q[x]}$. Але ${\displaystyle Q[x]}$ є кільцем головних ідеалів і тому цілозамкнутим. Тож ${\displaystyle f\in Q[x]}$. Залишається довести, що для цілозамкнутої області ${\displaystyle A}$ кільце ${\displaystyle A[x]}$ є цілозамкнутим у ${\displaystyle Q[x]}$.

Припустимо, що ${\displaystyle f\in Q[x]}$ є цілим елементом над ${\displaystyle A[x]}$ тобто ${\displaystyle f^{n}+a_{n-1}(x)f^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)f+a_{0}(x)=0}$, для деяких ${\displaystyle a_{i}(x)\in A[x]}$. Нехай ${\displaystyle m}$— ціле число більше, ніж степінь ${\displaystyle f}$ і всі степені ${\displaystyle a_{i}}$. Позначимо ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)-x^{m}}$. Якщо позначити ${\displaystyle q(t)=t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x)}$, то ${\displaystyle f_{1}}$ є коренем многочлена ${\displaystyle q_{1}(t)=q(t+t^{m})}$. Зауважимо що ${\displaystyle q_{1}(t)=t^{n}+b_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +b_{1}(x)t+b_{0}(x)}$ і ${\displaystyle b_{0}(x)=q(x^{m})}$ має старший коефіцієнт рівний 1. Оскільки ${\displaystyle (-f_{1})(f_{1}^{n-1}+b_{n-1}(t)f_{1}^{n-2}+\cdots +b_{1}(x))=b_{0}(x)}$ і ${\displaystyle f_{1}}$ і ${\displaystyle b_{0}}$ мають старші коефіцієнти 1, то з леми Гауса отримуємо, що коефіцієнти многочлена ${\displaystyle f_{1}}$ належать A і теж саме є правильним для многочлена ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+x^{m}}$, що завершує доведення.

• Індуктивна границя цілозамкнутих областей є цілозамкнутою областю.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L є нормальним розширенням поля Q з групою Галуа G = G(L/ Q). Нехай також S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді

(i) G є групою A-автоморфізмів кільця S.

(ii) Прості ідеали P' and P'' кільця S лежать над спільним простим ідеалом P' кільця R (тобто ${\displaystyle P'\cap A=P''\cap A=P}$) тоді і тільки тоді, коли існує ${\displaystyle \sigma \in G:\;\;\sigma (P')=P''.}$

• Теорема про спуск. Нехай A — цілозамкнута область і S — область цілісності, що є цілим розширенням A. Нехай ${\displaystyle P_{1}\supset P_{2}\supset \ldots \supset P_{n}}$ — спадна послідовність простих ідеалів кільця A і P'₁ — простий ідеал кільця S, для якого ${\displaystyle P'_{1}\cap A=P_{1}}$. Тоді існує спадна послідовність ${\displaystyle P_{1}'\supset P_{2}'\supset \ldots \supset P_{n}'}$ простих ідеалів кільця S, для яких ${\displaystyle P_{i}'\cap A=P_{i}}$.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Нехай S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді існує базис${\displaystyle \{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}}$ поля L над Q, для якого ${\displaystyle S\subset \sum _{i=1}^{n}Ae_{i}}$. Якщо A є кільцем головних ідеалів, то можна вибрати такий базис щоб в цій формулі виконувалася рівність.

Нехай A є нетеровою областю цілісності. Тоді A є цілозамкнутою, якщо і тільки якщо виконуються умови:

• A є перетином всіх локалізацій ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ за простими ідеалами ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ висоти 1 і
• локалізації ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ за простими ідеалами ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ висоти 1 є кільцями дискретного нормування.

Для нетерової локальної області A розмірності один, тоді еквівалентними є твердження:

• A є цілозамкнутою.
• максимальний ідеал of A є головним.
• A є кільце дискретного нормування (еквівалентно A є кільцем Дедекінда.)
• A є регулярним локальним кільцем.

Нетерова область цілісності є кільцем Круля тоді і тільки тоді, коли вона є цілозамкнутою.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Ціле замиканням області A в полі L є кільцем Нетер.

Якщо A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A, то для довільного простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кільця A, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — мінімальний простий ідеал кільця S, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ тоді ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\cap A={\mathfrak {p}}.}$ Зокрема для цього випадку теорема спуску виконується без додаткових умов.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A. Тоді для довільного ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ кільця S виконується рівність ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {B}}\cap A)=\operatorname {ht} ({\mathfrak {B}})}$, де ${\displaystyle \operatorname {ht} }$ позначає висоту ідеала.

Нормальним кільцем називається кільце, для якого всі локалізації за простими ідеалами є цілозамкнутими областями. Таке кільце є редукованим, тобто не містить нільпотентних елементів крім 0,[3]. Якщо A є нетеровим кільцем, для якого всі локалізації за максимальними ідеалами є областями цілісності, то A є скінченним добутком областей цілісності.[4] Зокрема, якщо A є нетеровим нормальним кільцем, то воно є скінченним добутком цілозамкнутих областей.[5] Навпаки, скінченний добуток цілозамкнутих областей є нормальним кільцем.

Нехай A — нетерове кільце. Критерій Серра стверджує, що A є нормальним, якщо і тільки якщо воно задовольняє такі умови: для будь-якого простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$,

• (i) якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ має висоту ${\displaystyle \leq 1}$, то ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ є регулярним локальним кільцем (тобто, ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ є кільце дискретного нормування.)
• (ii) якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ має висоту ${\displaystyle \geq 2}$, то ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ має глибину ${\displaystyle \geq 2}$.[6]

Нехай A — область і K її поле часток. Елемент ${\displaystyle x\in K}$ називається майже цілим над A якщо підкільце A[x] кільця K породжене A і x є дробовим ідеалом кільця A; тобто, якщо існує ${\displaystyle d\neq 0}$, для якого ${\displaystyle dx^{n}\in A}$ для всіх ${\displaystyle n\geq 0}$. Область A називається цілком цілозамкнутою якщо всі майже цілі елементи поля K належать A. Цілком цілозамкнута область є цілозамкнутою. Навпаки, нетерова цілозамкнута область є цілком цілозамкнутою.

Припустимо, що область A є цілком цілозамкнутою. Тоді кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle A[[X]]}$ є цілком цілозамкнутим. Аналог цього твердження для цілозамкнутих областей є невірним: якщо R є кільцем нормування висоти не менше 2 (це кільце є цілозамкнутим), то ${\displaystyle R[[X]]}$ не є цілозамкнутим[7] Нехай L — розширення поля K. Тоді ціле замикання кільця A в L є цілком цілозамкнутим.

Область цілісності є цілком цілозамкнутою, якщо і тільки якщо моноїд дивізорів A є групою.[8]

Локалізація цілком цілозамкнутого кільця може не бути цілком цілозамкнутою.

• Кільце нормування
• Факторіальне кільце

• Дрозд, Ю. А. (2004). Вступ до алгебричної геометрії. Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN 9667493539. (укр.)
• Bourbaki. Commutative Algebra.
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative rings. Lectures в Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative ring Theory. Cambridge Studies в Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative Algebra. ISBN 0-8053-7026-9.