Міра ірраціональності

Нехай ${\displaystyle \alpha }$ — дійсне число, і нехай ${\displaystyle M(\alpha )}$ — множина всіх чисел ${\displaystyle \mu }$ таких, що нерівність ${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ має лише скінченне число розв'язків у цілих числах ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.}$

Тоді міра ірраціональності ${\displaystyle \mu (\alpha )}$ числа ${\displaystyle \alpha }$ визначається як точна нижня грань ${\displaystyle M(\alpha )}$:

${\displaystyle \mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).}$

Якщо ${\displaystyle M(\alpha )=\varnothing }$, то вважають ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$.

Іншими словами, ${\displaystyle \mu }$ — найменше число, таке, що для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ для всіх раціональних наближень ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ з досить великим знаменником ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}}$.

• ${\displaystyle \mu (\alpha )=1}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \alpha }$ — раціональне число.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне ірраціональне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — трансцендентне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. Зокрема, якщо ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$, то число ${\displaystyle \alpha }$ називають числом Ліувілля.

Якщо ${\displaystyle \alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]}$ — розклад числа ${\displaystyle \alpha }$ в ланцюговий дріб, і ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ — ${\displaystyle n}$-а відповідний ланцюговий дріб, то

${\displaystyle \mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину ${\displaystyle \varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]}$, і тоді ${\displaystyle \mu (\varphi )=2}$.

За лемою Діріхле, якщо ${\displaystyle \alpha }$ ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$, тобто ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа ${\displaystyle \alpha }$ мірою ${\displaystyle n}$ можна підібрати константу ${\displaystyle c=c(\alpha )}$ таку, що ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}}$. 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота. Вона стверджує, що якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне ірраціональне число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$. Рот за її доведення отримав філдсівську премію.

Для майже всіх трансцендентних чисел міра ірраціональності дорівнює 2. Добре відомо, що ${\displaystyle \mu \left(e\right)=2}$, а також відомі числа Ліувілля, які за визначенням мають нескінченну міру ірраціональності. Однак для багатьох інших трансцендентних констант міра ірраціональності невідома, в кращому випадку, відома деяка оцінка зверху. Наприклад:

• ${\displaystyle \mu \left(e\right)=2}$
• ${\displaystyle \mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137}$[1]
• ${\displaystyle \mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}162857}$[2]
• ${\displaystyle \mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\right)\leqslant 4{,}230464}$[3]
• ${\displaystyle \mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391}$
• ${\displaystyle \mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891}$

• Ірраціональні числа
• Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел
• Ланцюговий дріб

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.