Нерівність Ерміта — Адамара

Оскільки функція ${\displaystyle f}$ є опуклою на інтервалі, вона є неперервною і диференційовною справа і зліва у кожній точці інтервалу. Позначимо ліві і праві похідні ${\displaystyle f^{-}}$ і ${\displaystyle f^{+}}$ відповідно. Для кожного ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$, введемо функцію

${\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}$

для якої

${\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),\ \ \land \ \ t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}$

Зокрема для ${\displaystyle x_{0}={\frac {a+b}{2}}}$ :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}$

Навпаки, зважаючи на опуклість f:

${\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}$

Проінтегрувавши отримуємо:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

• Формула Стірлінга. Розглянемо функцію ${\displaystyle x\mapsto f(x)={\frac {1}{1+x}}\;(x\geq 0)}$. Вона є опуклою оскільки ${\displaystyle f''(x)={\frac {2}{(1+x)^{3}}}>0}$. Використавши нерівність Ерміта — Адамара на інтервалі ${\displaystyle [0,x]}$ отримуємо

${\displaystyle x-{\frac {x^{2}}{2+x}}<\ln(1+x)<x-{\frac {x^{2}}{2+2x}}}$  .

Звідси для довільного натурального числа ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle {\frac {1}{n+{\tfrac {1}{2}}}}<\ln(n+1)-\ln n<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)}$ або ${\displaystyle 1<(n+{\tfrac {1}{2}})\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)<1+{\frac {1}{4n(n+1)}}}$.

Ці нерівності можна використати для доведення формули Стірлінга. Для цього зручніше переписати останню нерівність пропотенціювавши її${\displaystyle e<\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}<e^{1+{\frac {1}{4n(n+1)}}}}$. Тоді формула Стірлінга може бути отримана, якщо ввести послідовність ${\displaystyle a_{n}={\frac {n!e^{n}}{n^{n+1/2}}}}$. Оскільки з означень ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{e}}}$ , то з отриманих вище нерівностей ${\displaystyle 1<{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<e^{\frac {1}{4n(n+1)}}={\frac {e^{\frac {1}{4n}}}{e^{\frac {1}{4(n+1)}}}}}$. Звідси відразу отримуємо, що послідовність ${\displaystyle a_{n}}$ є спадною і обмеженою знизу, а послідовність ${\displaystyle b_{n}=a_{n}e^{-{\frac {1}{4n}}}}$ є зростаючою і обмеженою зверху. Оскільки ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }e^{-{\frac {1}{4n}}}=1}$ то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a}$. Тому для кожного натурального числа знайдеться таке ${\displaystyle 0<\theta <1}$, що ${\displaystyle a_{n}=ae^{\frac {\theta }{4n}}}$. Повертаючись до означення послідовності отримуємо ${\displaystyle n!=a{\sqrt {n}}e^{\frac {\theta }{4n}}}$. За допомогою, наприклад, формули Валліса можна знайти[1] ${\displaystyle a={\sqrt {2\pi }}}$ , що завершить доведення.

• Нерівності між середніми. Розглянемо функцію ${\displaystyle x\mapsto f(x)=e^{x}}$. Вона є строго опуклою на всій множині дійсних чисел і тому для усіх ${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$ згідно з нерівністю Ерміта — Адамара

${\displaystyle e^{\frac {a+b}{2}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}<{\frac {e^{a}+e^{b}}{2}}}$.

Якщо взяти ${\displaystyle a=\ln x,\;b=\ln y}$ для додатних ${\displaystyle x<y}$, то отримаємо:

${\displaystyle {\sqrt {xy}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}<{\frac {x+y}{2}}}$,

тобто нерівності між геометричним, логарифмічним і арифметичним середніми.

• Тригонометричні нерівності. Розглянемо функцію ${\displaystyle x\mapsto f(x)=\sin x,\,x\in [0,\pi ]}$. На цьому проміжку функція є вгнутою. Тому згідно з нерівністю Ерміта — Адамара (в якій для вгнутих функцій лише треба змінити напрямок нерівностей) для ${\displaystyle 0<a<b<\pi }$ :

${\displaystyle \sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)>{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\sin x\,dx={\frac {\cos a-\cos b}{b-a}}>{\frac {\sin a+\sin b}{2}}}$.

Нехай тепер ${\displaystyle 0<a<b<\pi /2}$. Тоді ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}>0}$.

Використаємо тригонометричні тотожності ${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ і ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$.

У першій нерівності вище після використання тотожності для різниці косинусів і скорочення отримаємо ${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}>\sin \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$.

У другій нерівності після використання тотожностей для суми синусів і різниці косинусів і скорочень отримаємо ${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}<\tan \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$. Позначивши ${\displaystyle x=b-a}$, отримаємо відомі нерівності ${\displaystyle \sin x<x<\tan x}$ для всіх ${\displaystyle 0<x<\pi /2}$.

• Припустимо, що функція ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ є опуклою і двічі диференційовною в усіх точках інтервалу і також ${\displaystyle m\leqslant f''(x)\leqslant M}$ для всіх ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Тоді функції ${\displaystyle f(x)-mx^{2}/2}$ і ${\displaystyle Mx^{2}/2-f(x)}$ теж є опуклими в цьому інтервалі. Застосування до цих функцій нерівностей Ерміта — Адамара дає оцінки точності

${\displaystyle m{\frac {(b-a)^{2}}{24}}\leqslant {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{24}}}$

і

${\displaystyle m{\frac {(b-a)^{2}}{12}}\leqslant {\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

• Нехай ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ — ліпшицева на інтервалі функція і ${\displaystyle M=\sup \left\{\left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|:x,y\in [a,b],\,x\neq y\right\}}$ — константа Ліпшиця цієї функції. Тоді

${\displaystyle \left|f(x)-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant M\left({\frac {1}{4}}+\left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)^{2}\right)(b-a)\;\;}$ — нерівність Островського,

${\displaystyle \left|{\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant {\frac {M(b-a)}{4}}+{\frac {(f(a)-f(b))^{2}}{4M(b-a)}}}$ — нерівність Ієнґара.

• Опукла функція

• Niculescu, Constantin P.; Persson, Lars-Erik (2005). Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach. Springer-Verlag. ISBN 0-387-24300-3. Zbl 1100.26002.