Уніпотентна матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ над полем ${\displaystyle K}$ є уніпотентною, коли її характеристичний многочлен має вигляд

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}}$

Іншими словами всі власні значення матриці рівні ${\displaystyle 1}$ sind.

Кожна невироджена матриця ${\displaystyle A}$ над досконалим полем ${\displaystyle K}$ може бути записана у виді розкладу Жордана — Шевальє:

${\displaystyle A=D\cdot U=U\cdot D}$,

де матриця ${\displaystyle D}$ є напівпростою (для алгебрично замкнутих полів — діагоналізовною), а ${\displaystyle U}$ — уніпотентною. Такий розклад завжди є єдиним.[1]

Степінь уніпотентної матриці ${\displaystyle A^{k}}$ над довільним полем теж є уніпотентною матрицею. Її можна записати через степені нільпотентної матриці:

${\displaystyle A^{k}=(I+N)^{k}=I+kN+{\frac {k(k-1)}{2}}N^{2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots (k-m+2)}{(m-1)!}}N^{m-1}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$.

Зокрема звідси отримуємо, що над полем характеристики ${\displaystyle p>0}$ матриця ${\displaystyle A}$ є уніпотентною тоді і тільки тоді коли для всіх достатньо великих ${\displaystyle s>0}$ справедливою є рівність ${\displaystyle A^{p^{s}}=I.}$

Більш загально, добуток двох комутуючих уніпотентних матриць над полем є уніпотентною матрицею.

Для матриць над довільним кільцем з одиницею уніпотентна матриця ${\displaystyle A=I+N}$ завжди має обернену матрицю рівну:

${\displaystyle A^{-1}=I-N+N^{2}+\ldots +(-1)^{m-1}N^{m-1}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$. Обернена матриця теж є уніпотентною.

Логарифм уніпотентної матриці є нільпотентною матрицею, яка рівна:

${\displaystyle \log A=\log(I+N)=N-{\frac {N^{2}}{2}}+{\frac {N^{3}}{3}}+\ldots +(-1)^{m-1}{\frac {N^{m-1}}{m-1}}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$.

Також для логарифму і експоненти матриці справедливою є рівність[2]

${\displaystyle e^{\log A}=A}$.

Навпаки, експонента нільпотентної матриці ${\displaystyle N}$ є уніпотентною матрицею і [2]

${\displaystyle \log e^{N}=N}$.

Зокрема, якщо ${\displaystyle N}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$, то образом її експоненти буде матриця виду ${\displaystyle I+N'}$, де ${\displaystyle N'}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$. Навпаки логарифм уніпотентної матриці ${\displaystyle I+N}$, де ${\displaystyle N}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$ є нільпотентною матрицею теж степеня ${\displaystyle m}$. До того ж ці два відображення задають гомеоморфізм між просторами нільпотентних матриць зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$ і уніпотентних матриць виду ${\displaystyle I+N}$, де ${\displaystyle N}$ має степінь нільпотентності ${\displaystyle m}$.