Повний алгебричний многовид

В алгебричній геометрії абстрактний алгебричний многовид $X$ називається повним, якщо він є відокремлюваним (тобто діагональ є замкнутою підмножиною у $X\times X$ ), і якщо для будь-якого многовида $Y$ проекція $\pi _{Y}\colon X\times Y\to Y$ із добутку алгебричних многовидів із топологією Зариського на другий множник є замкнутим морфізмом, тобто образ довільної замкнутої множини теж є замкнутою множиною. Повні многовиди є певною мірою аналогом в алгебричній геометрії компактних просторів.

Властивості

Замкнутий підмноговид повного многовида теж є повним многовидом.
Прямий добуток повних многовидів теж є повним многовидом.
Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли всі його незвідні компоненти є повними.
Алгебричний многовид $X$ є повним тоді і тільки тоді коли для всіх $m\geqslant 1$ проекція $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}\colon X\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}$ є замкнутим морфізмом.

Нехай спочатку

Y

— афінний многовид, тобто замкнена підмножина деякого афінного простору

\mathbb {A} ^{m}

. Тоді будь-яка замкнена підмножина

Z\subset X\times Y

також замкнена в

X\times \mathbb {A} ^{m}

, отже,

\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)=\pi _{Y}

замкнена в

Y

.

Далі, для будь-якого многовиду

Y

існує відкрите покриття

Y=\bigcup _{i}Y_{i}

, де

Y_{i}

— афінні многовиди. Якщо

Z

— замкнена підмножина в

X\times Y

, то

Z=\bigcup _{i}Z_{i}

, де

Z_{i}=Z\cap (X\times Y_{i})

, і

\pi _{Y}(Z)\cap Y_{i}=\pi _{Y}(Z_{i})

. З попереднього, кожна

\pi _{Y}(Z_{i})

є замкнутою в

Y_{i}

, а тому pr

\pi _{Y}(Z)

замкнута в

Y

. Отже, відображення

\pi _{Y}

замкнуте.

Образ повного многовида $X$ при регулярному відображенні у відокремлюваний многовид $Y$ є замкнутою множиною і повним многовидом. Зокрема, регулярна функція на повному зв'язаному многовиді є константою.

Оскільки замкнута підмножина повного многовида є повною достатньо довести, що образ

f

є замкнутим в

Y

. Позначимо через

\Gamma \subseteq X\times Y

графік відображення

f

:

\Gamma =\{(p,f(p))|p\in X\}

. Оскільки

Y

є відокремлюваним многовидом то цей графік є замкнутою множиною. Тому

f(X)=\pi _{Y}(\Gamma )

теж є замкнутою множиною.

Оскільки

f(X)

є замкнутою множиною алгебричного многовида, то він теж є алгебричним многовидом. Тоді, ввівши морфізм

f\times \operatorname {Id} :X\times Y\to f(X)\times Y

, для довільної замкнутої множини

Z\subset f(X)\times Y

множина

(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z

є замкнутою у

X\times Y

і

\pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z=\pi _{Y}Z

, де кожна проекція визначена на відповідній множині. Оскільки

X

є повним многовидом то

\pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z

, а тому і

\pi _{Y}Z

є замкнутою множиною.

Нехай

f:X\to K

— регулярна функція. Ототожнюючи

K

з

\mathbb {A} _{0}^{1}\subset \mathbb {P} ^{n}

, можна розглядати

f

як морфізм у

\mathbb {P} ^{n}

. Отже,

\operatorname {Im} f

є замкнутою множиною, що не збігається з усім

\mathbb {P} _{1}

, і тому

\operatorname {Im} f=\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\}

. Тоді

X=\bigsqcup _{i=1}^{k}f^{-1}(a_{i})

(диз'юнктне об'єднання прообразів). Оскільки всі

f^{-1}(a_{i})

замкнені, а

X

зв'язаний,

m=1

, тобто

f

є константою.

Якщо квазіпроективний многовид $X\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ є повним, то він є проективним.

Простий наслідок попередньої властивості, адже образ морфізму включення має бути замкнутою множиною.

Над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$ алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли він є компактним у класичній топології.
Теорема Нагати: Будь-який відокремлюваний многовид є ізоморфним відкритому підмноговиду деякого повного многовида.
Лема Чжоу. Повний многовид є образом деякого проективного многовида при сюр'єктивному біраціональному морфізмі.

Приклади

Проекція $\pi _{\mathbb {A} ^{1}}\colon \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{1}$ не є замкнутою. Образом гіперболи $V(xy-1)$ є множина $\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\},$ що не є замкнутою. Тому афінна пряма не є повною. Також це випливає з того, що афінна пряма є квазіпроективним многовидом але не є проективним.
Натомість довільний проективний многовид завжди є повним.

Враховуючи властивості повних многовидів достатньо лише довести, що проекція

\pi _{\mathbb {A} ^{m}}:\mathbb {P} ^{m}\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}

є замкнутою. Позначимо однорідні координати в

\mathbb {P} ^{n}

через

x=(x_{0}:x_{1}:\ldots :x_{n})

, а координати в

\mathbb {A} ^{m}

через

y=(y_{1},y_{2},...,y_{m})

. Нехай

Z

— замкнута підмножина у

\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {A} ^{m}

. Вона є множиною спільних нулів множини многочленів

S=\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{r}\}\subset K[X,Y]

, які є однорідними по змінних

x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}

. Точка

q\in \mathbb {A} ^{m}

належить до

\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)

тоді й лише тоді, коли існує точка

p\in \mathbb {P} ^{n}

, така що

(p,q)\in Z

, тобто

F_{i}(p,q)=0

для всіх

i=1,\ldots ,r

. Отже,

q\not \in \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)

тоді й лише тоді, коли

PV(S_{q})=\varnothing

, де

S_{q}=\{F_{1}(x,q),...,F_{r}(x,q)\}

. По проективній Теоремі Гільберта про нулі, це означає, що

I_{+}^{k}\subseteq S_{q}

для деякого

k

, тобто кожен одночлен степеня

k

може бути представлений у вигляді

\sum _{i=1}^{r}H_{i}F_{i}(x,q)

для деяких однорідних многочленів

H_{i}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})

. Позначимо через

P_{k}

векторний простір всіх однорідних многочленів степеня

k

з

K[x]

. Остання умова означає, що множина

\{w_{j}F_{i}(x,q)|i=1,\ldots ,r\}

де

w_{j}

пробігає всі одночлени степеня

k-\operatorname {deg} F_{i}

породжує

P_{k}

, або, що те саме,

\operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}

, де

M_{k}

— матриця, рядки якої складаються з коефіцієнтів усіх можливих

w_{j}F_{i}

(записаних у заданому порядку). Позначимо

D=\operatorname {dim} P_{k}

. Оскільки завжди

\operatorname {rk} M_{k}\leqslant \operatorname {dim} P_{k}

, остання умова означає, що принаймні один

D\times D

мінор

M_{k}

ненульовий. Коефіцієнти матриці

M

— многочлени від

q

, отже, множина

U_{k}=\{q\in \mathbb {A} ^{m}|\operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}\}

, відкрита в

\mathbb {A} ^{m}

. Тому множина

U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}

є також відкритою. Але

U=\mathbb {A} ^{n}\setminus \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)

, отже,

\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)

є замкнутою.

Хоча більшість повних многовидів, що зустрічаються на практиці є проективними, існують і непроективні повні многовиди. Візьмемо спочатку $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ і роздуємо на ньому точку $(0,0)$ . Після цього одержується лінійчата поверхня $\varphi :Y\to \mathbb {P} ^{1}$ з одним виродженим шаром над 0, який складається з двох компонент $F$ і $G$ ізоморфних $\mathbb {P} ^{1}$ .

Тепер візьмемо ще один екземпляр такої поверхні

\varphi ':Y'\to \mathbb {P} ^{1}

з виродженим шаром

\varphi '^{-1}(0)=F'\cup G'

і склеїмо

Y

з

Y'

, ототожнюючи криву

F

з шаром

\varphi '^{-1}(\infty )

і

F'

з шаром

\varphi ^{-1}(\infty )

.

Отримана поверхня

X

, складається з двох компонент

Y

і

Y'

, кожна з яких є проективною, тому

X

є повним многовидом. Однак

X

не можна вкласти в

\mathbb {P} ^{n}

.

В іншому випадку, візьмемо гіперплощину

H\subset \mathbb {P} ^{n}

, яка трансверсально перетинає

F,G,F',G'

відповідно в

\nu ,\mu \nu ',\mu '

точках. Так як шар

\varphi ^{-1}(0)=F+G

«неперервно деформується» в шар

\varphi ^{-1}(\infty )=F'

, ми отримуємо

\nu +\mu =\nu '

. Аналогічно

\nu '+\mu '=\nu

звідки

\mu +\mu '=0

. Це означає, що гіперплощина

H

не перетинається з кривими

G,G'

, тобто вони лежать в

\mathbb {P} ^{n}\setminus H

. Але

\mathbb {P} ^{n}\setminus H\cong \mathbb {A} ^{n}

— афінний многовид і він не може містити повних кривих.

Будь-яка гладка повна крива і гладка повна поверхня є проективними. В розмірності три існують гладкі повні непроективні многовиди.

Див. також

Література

Дрозд, Ю. А. (2004). Вступ до алгебричної геометрії. Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN 9667493539. (укр.)
James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 6. Complete Varieties.
Mumford, David (1999). The red book of varieties and schemes. Lecture notes in mathematics 1358 (вид. Second, expanded). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. doi:10.1007/b62130.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.