Повнократне число

Якщо ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$, то будь-яке просте в розкладі ${\displaystyle a}$ входить двічі, а в ${\displaystyle b}$ — не менше трьох разів; так що будь-яке просте в розклад ${\displaystyle m}$ входить не менше, ніж у квадраті.

З іншого боку, нехай ${\displaystyle m}$ — повнократне число з розкладом

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}}}$ ,

де кожне ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 2}$ . визначимо ${\displaystyle \gamma _{i}}$ рівним трьом, якщо ${\displaystyle \alpha _{i}}$ непарне, і нулю в іншому випадку, і визначимо ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i}}$ . Тоді всі значення ${\displaystyle \beta _{i}}$ є невід'ємними парними цілими, і всі значення ${\displaystyle \gamma _{i}}$ або дорівнюють нулю, або трьом, так що:

${\displaystyle m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}}$

дає шукане подання ${\displaystyle m}$, як добуток квадрата і куба.

Іншими словами, для даного розкладу числа ${\displaystyle m}$ можна взяти як ${\displaystyle b}$ добуток простих множників, що входять у розклад з непарними степенями (якщо таких немає, то 1). Оскільки ${\displaystyle m}$ — повнократне, кожен простий множник, що входить у розклад з непарним степенем, має степінь не менше 3, так що ${\displaystyle m/b^{3}}$ є цілим. Тепер кожен простий множник ${\displaystyle m/b^{3}}$ має парний степінь, так що ${\displaystyle m/b^{3}}$ — повний квадрат, позначимо його як ${\displaystyle a^{2}}$; і виходить ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$ . Наприклад:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}}$ ,

${\displaystyle b=2\times 3=6}$ ,

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10}$ ,

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}}$ .

Сума обернених величин повнократних чисел сходиться:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)}$ ,

де ${\displaystyle p}$ — обходить всі прості числа, ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функція Рімана, і ${\displaystyle \zeta (3)}$ — стала Апері (Голомб, 1970).

Нехай ${\displaystyle k(x)}$ означає кількість повнократних чисел в інтервалі ${\displaystyle [1,x]}$. Тоді ${\displaystyle k(x)}$ пропорційне квадратному кореню з ${\displaystyle x}$. Точніше:

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots }$ [1] .

Два найменших послідовних повнократних числа — це 8 і 9. Оскільки рівняння Пелля ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ має нескінченне число розв'язків, то є й нескінченне число пар послідовних повнократних чисел[1].

Більш загально, можна знайти послідовні повнократні числа, знайшовши розв'язок рівняння, схожого на рівняння Пелля, ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1}$ для будь-якого куба ${\displaystyle n}$. Проте одне з повнократних чисел у парі, отриманій таким чином, має бути квадратом. Згідно з Гаю, Ердеш ставив питання, чи нескінченне число пар повнократних чисел, аналогічних ${\displaystyle (23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})}$, у яких жодне з чисел у парі не є квадратом. Ярослав Вроблевський показав, що, навпаки, є нескінченно багато таких пар, показавши, що ${\displaystyle 3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}}$ має нескінченно багато розв'язків.

Відповідно до гіпотези Ердеша — Молліна — Волша, не існує трьох послідовних повнократних чисел.

Будь-яке непарне число можна подати у вигляді різниці двох послідовних квадратів:

${\displaystyle (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1}$ .

Так само, будь-яке число кратне чотирьом можна подати у вигляді різниці двох чисел, що відрізняються на два: ${\displaystyle (k+2)^{2}-k^{2}=4k+4}$ . Однак число, що ділиться на два, але не на чотири, не можна подати у вигляді різниці квадратів, тобто виникає питання: які парні числа, що не діляться на 4, можуть бути подані у вигляді різниці двох повнократних чисел.

Голомб дав кілька таких подань:

2 = 3³ — 5²

10 = 13³ — 3⁷

18 = 19² — 7³ = 3² (3³ — 5^2).

Спочатку висловлена гіпотеза, що число 6 можна подати в такому вигляді, і Голомб припустив, що є нескінченно багато цілих чисел, які можна подати у вигляді різниці двох повнократних чисел. Однак Нарківіч виявив, що існує нескінченно багато способів подання числа 6, наприклад

6 = 5⁴7³ — 463²,

і Макденіел [2] показав, що будь-яке число має нескінченну кількість таких подань.

Ердеш висловив гіпотезу, що будь-яке досить велике ціле число є сумою максимум трьох повнократних чисел. Гіпотезу довів Роджер Хіт-Браун[3].

${\displaystyle k}$ -повнократні числа — числа, в розклад яких прості числа входять зі степенем, не меншим ніж ${\displaystyle k}$ .

${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k}}$, ${\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k}}$, ${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k+1}}$ є ${\displaystyle k}$ -повнократними в арифметичній прогресії.

Більше того, якщо ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s}}$ є ${\displaystyle k}$-повнократнимв в арифметичній прогресії з різницею ${\displaystyle d}$, то:

${\displaystyle (a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}}$

є ${\displaystyle k}$-повнократними числами в арифметичній прогресії.

Для ${\displaystyle k}$ — повнократних чисел має місце:

${\displaystyle a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^{k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}}$ .

Ця рівність дає нескінченно багато наборів довжини ${\displaystyle l+1}$${\displaystyle k}$ — повнократних чисел, суми яких теж ${\displaystyle k}$-повнократнв. Нітадж[4] показав, що є нескінченно багато розв'язків рівняння ${\displaystyle x+y=z}$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел. Кон[5] сконструював нескінченне сімейство розв'язків рівняння ${\displaystyle x+y=z}$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел: трійка

${\displaystyle X=9712247684771506604963490444281}$ ,

${\displaystyle Y=32295800804958334401937923416351}$ ,

${\displaystyle Z=27474621855216870941749052236511}$

є розв'язком рівняння ${\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}}$ .

Можливо сконструювати інший розв'язок, поклавши ${\displaystyle X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3}-49Y^{3})}$ і прибираючи спільний дільник.

• Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вип. 221. — С. 439—440. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
• Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — DOI:10.2307/2317020. — JSTOR 2317020}.
• Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
• Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston : Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
• Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
• Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20. — С. 85—87.
• Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — DOI:10.1112/blms/27.4.317.

• Weisstein, Eric W. Powerful number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• The abc conjecture