Стала Апері

Двопетльова діаграма Фейнмана, результат для якої містить ${\displaystyle \zeta (3)}$

У математиці стала Апері зустрічається у багатьох застосуваннях. Зокрема, величина, обернена до ${\displaystyle \zeta (3)}$, дає ймовірність того, що будь-які три випадковим чином вибраних додатних цілих числа будуть взаємно простими — в тому сенсі, що при ${\displaystyle N\to \infty }$ ймовірність того, що три додатних цілих числа, менших, ніж ${\displaystyle {\textstyle {N}}}$ (і вибраних випадковим чином) будуть взаємно простими, прямує до ${\displaystyle 1/\zeta (3)}$.

Стала Апері природним чином виникає в низці задач фізики, зокрема в поправках другого (і вище) порядків до аномального магнітного моменту електрона в квантовій електродинаміці. Наприклад, результат для двопетльової діаграми Фейнмана, зображеної на малюнку, дає ${\displaystyle 6\zeta (3)}$ (тут мається на увазі 4-вимірне інтегрування за імпульсами внутрішніх петель, що містять тільки безмасові віртуальні частинки, а також відповідне нормування, включно зі степенем імпульсу зовнішньої частки ${\displaystyle k}$). Інший приклад — двовимірна модель Дебая.

Стала Апері пов'язана з частковим значенням полігамма-функції другого порядку:

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)}$

і з'являється в розкладі гамма-функції в ряд Тейлора:

${\displaystyle \Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]}$ ,

де у вигляді ${\displaystyle e^{-\gamma \varepsilon }}$ факторизуються внески, що містять сталу Ейлера — Маскероні ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$.

Стала Апері також пов'язана зі значеннями трилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(z)}$ (частковий випадок полілогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$):

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)}$ ,

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)}$.

Деякі інші ряди, члени яких обернені кубів натуральних чисел, також виражаються через сталу Апері:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)}$,

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)}$.

Інші відомі результати — сума ряду, що містить гармонічні числа ${\displaystyle {\textstyle {H_{k}}}}$:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}}$ ,

а також подвійна сума:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}}$.

Для доведення ірраціональності ${\displaystyle \zeta (3)}$ Роже Апері[2] користувався поданням:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}}$,

де ${\displaystyle {\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}}$ — біноміальний коефіцієнт.

1773 року Леонард Ейлер[6] навів подання у вигляді ряду (яке згодом було кілька разів заново відкрито в інших роботах):

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$,

у якому значення дзета-функції Рімана парних аргументів можна подати як ${\displaystyle {\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}}$, де ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ — числа Бернуллі.

Рамануджан дав кілька подань у вигляді рядів, які чудові тим, що вони забезпечують кілька нових значущих цифр на кожній ітерації. Серед них[7]:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

Саймон Плафф отримав ряди іншого типу:

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,}$

а також аналогічні подання для інших сталих ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$.

Отримано й інші подання у вигляді рядів, зокрема:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}}$

Деякі з цих подань використано для обчислення сталої Апері з багатьма мільйонами значущих цифр.

1998 року отримано подання у вигляді ряду[8], яке дає можливість обчислити довільний біт сталої Апері.

Існує також багато різних інтегральних подань для сталої Апері, починаючи від тривіальних формул на зразок

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}$

або

${\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx}$,

які випливають із найпростіших інтегральних визначень дзета-функції Рімана[9], до досить складних, таких, як

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }$ (Йоган Єнсен[10]),

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad }$ (Фрітс Бекерс[11]),

${\displaystyle \zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad }$ (Ярослав Благушин[12]).

Ланцюговий дріб для сталої Апері (послідовність A013631 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

${\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}$

${\displaystyle =1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}\;}$

Перший узагальнений ланцюговий дріб для сталої Апері, що має закономірність, відкрили незалежно Стілтьєс і Рамануджан:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Його можна перетворити до вигляду:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

Апері зміг прискорити збіжність ланцюгового дробу для сталої:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}$[13][14]

Число відомих значущих цифр сталої Апері ${\displaystyle \zeta (3)}$ значно зросло за останні десятиліття завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів[15].

Кількість відомих значущих цифр сталої Апері ${\displaystyle \zeta (3)}$

Дата	Кількість значущих цифр	Автори обчислення
1735	16	Леонард Ейлер[4][5]
1887	32	Томас Йоанес Стілтьєс
1996	520,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1,000,000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, травень	10,536,006	Patrick Demichel
1998, лютий	14,000,074	Sebastian Wedeniwski
1998, березень	32,000,213	Sebastian Wedeniwski
1998, липень	64,000,091	Sebastian Wedeniwski
1998, грудень	128,000,026	Sebastian Wedeniwski[16]
2001, вересень	200,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, лютий	600,001,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, лютий	1,000,000,000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, квітень	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[17]
2009, січень	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[18]
2009, березень	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2010, вересень	100,000,001,000	Alexander J. Yee[19]
2013, вересень	200 000 001 000	Robert J. Setti
2015, серпень	250 000 000 000	Ron Watkins
2015, грудень	400 000 000 000	Dipanjan Nag
2017, серпень	500 000 000 000	Ron Watkins
2019, травень	1 000 000 000 000	Ian Cutress
2020, липень	1 200 000 000 000	Seungmin Kim[20]

Існує багато досліджень, присвячених іншим значенням дзета-функції Рімана в непарних точках ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$ при ${\displaystyle n>1}$. Зокрема, в роботах Вадима Зуділіна і Тангая Рівоаля показано, що ірраціональними є нескінченна множина чисел ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$[21], а також що принаймні одне з чисел ${\displaystyle \zeta (5)}$, ${\displaystyle \zeta (7)}$, ${\displaystyle \zeta (9)}$, або ${\displaystyle \zeta (11)}$ є ірраціональним[22].

• Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».)
• V. Ramaswami (1934). Notes on Riemann's ζ-function. J. London Math. Soc. 9: 165–169. doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165.
• Weisstein, Eric W. Стала Апері(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.