Подільна група

Подільна групагрупа , така що для будь-яких і рівняння

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як .

Група називається -подільною (просте число), якщо для будь-якого рівняння має розв'язок в .

Приклади

  • Група всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема
  • Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
  • Стандартні групи є подільними.
  • -примарна квазіциклічна група , тобто група, породжена зліченним набором елементів , які задовольняють умову
Еквівалентно цю групу можна описати як
  • Мультиплікативна група комплексних чисел
  • Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
  • Мультиплікативна група кватерніонів теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:
Ізоморфізм здійснюється за допомогою:
Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп

Якщо є гомоморфізмом груп то для елемента елемент є розв'язком рівняння де b є розв'язком рівняння (він існує, оскільки G є подільною).
  • Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним - модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп і гомоморфізму існує гомоморфізм такий що
Якщо G не є подільною то існують що рівняння не має розв'язку. Нехай тепер Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.
Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у існує максимальний елемент H' із гомоморфізмом що продовжує . Припустимо, що H' є власною підгрупою у H і Якщо то можна продовжити на Якщо взявши довільний образ для h. Якщо ж містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H' = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.
Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.
  • Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є -подільною при кожному простому .
  • Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
  • Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
  • Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.
Група є підгрупою подільної групи а тому пряма сума є підгрупою що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої то вона є підгрупою деякої факторгрупи що є подільною, як факторгрупа подільної групи.
  • Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
  • Будь-яка абелева група розкладається в пряму суму , де - подільна група (вона називається подільною частиною групи ), а - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
  • Якщо є кільцем і подільною групою, то є ін'єктивним -модулем.

Будова подільних груп

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

Структура підгрупи кручення є складнішою[1][2]. Для всіх простих чисел p існує множина , для якої

де є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

Потужності множин I і Ip для pP є однозначно визначеними G.

Див. також

Примітки

Література

  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press.
  • Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
  • Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
  • Tennison, B. R. (1975). Sheaf theory. Cambridge University Press. MR 0404390.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.