Алгебрична структура

Алгебраїчна структура (алгебраїчна система) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системи аксіом.

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.

Формально: об'єкт ${\displaystyle \langle A;\;\Omega _{F};\;\Omega _{R}\rangle ,}$ де:

• ${\displaystyle \ A}$ — непорожня множина,
• ${\displaystyle \ \Omega _{F}}$ — множина алгебраїчних операцій визначених на ${\displaystyle \ A,}$
• ${\displaystyle \ \Omega _{R}}$ — множина відношень визначених на ${\displaystyle \ A.}$

Множина ${\displaystyle \ A}$ називається носієм алгебричної системи. Множини ${\displaystyle \ \Omega _{F},\Omega _{R}}$ називається сигнатурою алгебричної системи.

Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури ${\displaystyle \ \Omega _{F}}$.

Для алгебричних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебричну систему називають топологічною алгебричною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д