Нормований многочлен

Множина усіх нормованих многочленів (над заданим (унітарним) кільцем A і для заданої змінної x) є замкнутою відносно множення, оскільки добуток старших членів двох нормованих многочленів є старшим членом їхнього добутку. Таким чином, нормовані многочлени утворюють мультиплікативну напівгрупу кільця многочленів A[x]. Власне, оскільки константа 1 теж є нормованим многочленом, ця напівгрупа є навіть моноїдом.

Обмеження відношення подільності до безлічі всіх нормованих многочленів (над даними кільцем) є частково впорядкованою множиною. Причина полягає в тому, що якщо для двох нормованих многочленів p і q p(x) ділиться на q(x), а q(x) ділиться на p(x), то p і q мають бути рівними. Відповідна властивість не є справедливою для поліномів взагалі, якщо кільце містить інвертовані елементи, відмінні від 1.

Властивості нормованих многочленів та відповідних їм нормованих алгебраїчних рівнянь суттєво залежать від кільця A коефіцієнтів. Якщо A є полем, то кожен ненульовий многочлен p має рівно один асоційований нормований многочлен q; справді, q є р, поділений на свій старший коефіцієнт. Таким чином, будь-яке нетривіальне поліномне рівняння p(x) = 0 може бути замінено еквівалентним нормованим рівнянням q(x) = 0. Наприклад, загальне реальне рівняння другого ступеня

${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$ (де ${\displaystyle a\neq 0}$)

може бути замінено на

${\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}$,

поклавши   p = b/a і q = c/a. Таким чином, рівняння

${\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}$

еквівалентно нормованому рівнянню

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}$

Загальна формула квадратичного рішення — це дещо спрощена форма рішення:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}$

З іншого боку, якщо кільце коефіцієнта не є полем, є більш істотні відмінності. Наприклад, нормоване поліномне рівняння з цілими коефіцієнтами не може мати інших раціональних розв'язків, окрім цілих. Таким чином, рівняння

${\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}$

може мати раціональний корінь, який не є цілим числом (у даному разі, корінь − 1/2); в той час як рівняння

${\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}$

і

${\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}$

можуть мати лише цілі або ірраціональні рішення.

Корені нормованого многочлена з цілими коефіцієнтами називаються алгебраїчними цілими числами .

Рішення нормованих поліноміальних рівнянь над областю цілісності є важливими в теорії цілих розширень та цілозамкнутих областей, а отже, і в алгебраїчній теорії чисел. Взагалі, припустимо, що A є областю цілісності, а також підкільцем області цілісності B. Розглянемо підмножину C множини B, що складається з тих елементів B, які задовольняють нормованим поліномним рівнянням над A:

${\displaystyle C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\,,{\hbox{ що є нормованим і таким, що }}p(b)=0\}\,.}$

Множина C містить A, оскільки будь-яке a ∈ А задовольняє рівнянню х — а = 0. Більше того, можна довести, що C є замкнутою відносно додавання та множення. Таким чином, C є підкільцем B. Кільце С називається цілісним замиканням A в B; або просто цілісним замиканням A, якщо B є полем часток A; а елементи C називають цілими над A. Якщо ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ (кільце цілих чисел) і ${\displaystyle B=\mathbb {C} }$ (поле комплексних чисел), тоді C є кільцем алгебраїчних цілих чисел .

Якщо p — просте число, тоді кількість нормованих незвідних поліномів ступеня n над скінченним полем ${\displaystyle GF(p)}$ з p елементами дорівнює функції підрахунку намиста ${\displaystyle N_{p}(n)}$.

Якщо усунути обмеження нормованості, це число стає ${\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}$ .

Загальна кількість коренів цих монічних невідводимих многочленів становить ${\displaystyle nN_{p}(n)}$. Це кількість елементів поля ${\displaystyle GF(p^{n})}$(з ${\displaystyle p^{n}}$ елементів), які не належать до жодного меншого поля.

Для p=2 такі поліноми зазвичай використовуються для генерації псевдовипадкових двійкових послідовностей.