Розподіл Леві

Густина імовірності розподілу Леві на множині ${\displaystyle x\geq \mu }$ визначається

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

де ${\displaystyle \mu }$ — параметр розміщення, ${\displaystyle c}$ — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {c/2(x-\mu )}}\right)}$

де ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ — доповнююча функція помилок. Параметр ${\displaystyle \mu }$ зміщує криву вправо на відстань ${\displaystyle \mu }$, змінюючи носій функції на множину [${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \infty }$). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

де y визначено як

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

Для ${\displaystyle \mu =0}$, the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

і розбігається для ${\displaystyle t>0}$ і, відповідно, теж не є визначеною.

Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {1}{x^{3/2}}}.}$

Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при ${\displaystyle \mu =0}$ показані в логарифмічному масштабі:

Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.

• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,}$ тоді ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ тоді ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ (обернений гамма-розподіл)
• Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5.
• Якщо ${\displaystyle Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ (нормальний розподіл) тоді ${\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}$
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,}$ тоді ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ тоді ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,}$ (Стійкий розподіл)
• Якщо ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ тоді ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$ (Масштабований обернений розподіл хі-квадрат)

• Політ Леві

• Information on stable distributions. Архів оригіналу за 22 липня 2013. Процитовано July 6 2012. Особливо An introduction to stable distributions, Chapter 1