Розшарування Кліфорда

Нехай V є дійсним або комплексним векторним простором на якому задана симетрична білінійна форма <·,·>. Алгебра Кліфорда Cℓ(V) є натуральною асоціативною алгеброю з одиницею породженою елементами V із співвідношеннями:

${\displaystyle v^{2}=-\langle v,v\rangle }$

для всіх v, що належать V.[1] Алгебру Cℓ(V) можна побудувати як факторалгебру тензорної алгебри для V по ідеалу породженому елементами ${\displaystyle v^{2}+\langle v,v\rangle }$.

Ці операції можна також здійснити для кожного шару деякого гладкого векторного розшарування. Нехай E є таким розшаруванням над гладким многовидом M, і g є гладкою симетричною білінійною формою на E. Розшарування Кліфорда для E є локально тривіальним розшаруванням шари якого є алгебрами Кліфорда для відповідних шарів E:

${\displaystyle C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})}$

Топологія на Cℓ(E) є одержується із топології E за допомогою застосування конструкції асоційованого розшарування.

Найважливішим є випадок коли g є додатноозначеною або хоча б невиродженою, у цьому випадку (E, g) називають відповідно рімановим або псевдорімановим розшаруванням. Нехай (E, g) є рімановим векторним розшаруванням. Нехай Cℓ_nR є алгеброю Кліфорда породженою Rⁿ із стандартним скалярним добутком. Дія ортогональної групи O(n) на Rⁿ породжує градуйований автоморфізм алгебри Cℓ_nR. Гомоморфізм

${\displaystyle \rho$ :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )}

задається як

${\displaystyle \rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})}$

де v_i є векторами у Rⁿ. Розшарування Кліфорда для E задається тоді як

${\displaystyle C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R} }$

де F(E) є ортонормальним розшаруванням реперів для E. Зокрема структурною групою для Cℓ(E) є O(n). Оскільки O(n) діє градуйованими автоморфізмами на Cℓ_nR то Cℓ(E) є розшаруванням супералгебр над M. Розшарування Кліфорда Cℓ(E) можна розкласти у суму парного і непарного підрозшарувань:

${\displaystyle C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).}$

Якщо векторне розшарування E є орієнтовним, то структурну групу для Cℓ(E) можна звести із O(n) до SO(n).

Якщо M є рімановим многовидом із метричним тензором g, то розшаруванням Кліфорда для M називається розшарування Кліфорда для дотичного розшарування TM. Еквівалентно розшарування Кліфорда можна побудувати із кодотичного розшарування T*M адже ріманова метрика задає натуральний ізоморфізм TM = T*M і, як наслідок, ізоморфізм Cℓ(TM) = Cℓ(T*M).

Між розшаруванням Кліфорда і зовнішнім розшаруванням для M існує ізоморфізм:

${\displaystyle C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).}$

Він є ізоморфізмом векторних розшарувань але не є ізоморфізмом алгебричних розшарувань адже алгебрична структура на кожному шарі не зберігається. Ізоморфізм є породжений ізоморфізмом векторних просторів (але не ізоморфізмом алгебр) на кожному шарі. Зокрема при цій ідентифікації перетини розшарування Кліфорда можна розглядами як диференціальні форми на M але добуток двох форм при цьому одержується із добутку у алгебрах Кліфорда, а не є рівним стандартному зовнішньому добутку, що не залежить від метрики g.

Даний ізоморфізм також зберігає градуювання, тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}}$

Важливим для теорії розшарувань Кліфорда над рімановими многовидами є продовження зв'язності Леві-Чивіти із дотичного розшарування многовиду на породжене ним розшарування Кліфорда. На дотичному розшаруванні для довільних гладких полів X і Y зв'язність Леві-Чивіти визначає гладке векторне поле ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$. Цей оператор можна продовжити на тензорне розшарування вимагаючи виконання правила добутку:

${\displaystyle \nabla _{X}(Y\otimes Z)=\nabla _{X}(Y)\otimes Z+Y\otimes \nabla _{X}(Z),}$

де X є векторним полем, а Y, Z — гладкими перетинами тензорного розшарування. Зокрема для гладких функцій на многовиді ${\displaystyle \nabla _{X}(f)=Xf,}$ тобто оператор є рівним диференціюванню за напрямком.

Задану таким чином зв'язність Леві-Чивіти із тензорного розшарування можна перенести на розшарування Кліфорда. Для цього потрібно довести, що для довільних векторних полів ${\displaystyle X,Y}$ гладкий перетин ${\displaystyle \nabla _{X}(Y\otimes Y+g(Y,Y))}$ (у якому другий аргумент є одним із елементів, що локально породжують ідеал тензорних алгебр факторалгебри по яких є рівними алгебрам Кліфорда) теж належить ідеалу породженому елементами виду ${\displaystyle Z\otimes Z+g(Z,Z)}$. Але із властивостей зв'язності Леві-Чивіти і означення цієї зв'язності для тензорного розшарування:

${\displaystyle \nabla _{X}(Y\otimes Y+g(Y,Y))=\nabla _{X}(Y)\otimes Y+Y\otimes \nabla _{X}(Y)+2g(\nabla _{X}(Y),Y)}$

Але за допомогою простих арифметичних операцій також одержується рівність

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y\otimes Y+Y\otimes \nabla _{X}Y+2g(\nabla _{X}Y,Y)&={1 \over 2}\left((\nabla _{X}Y+Y)\otimes (\nabla _{X}Y+Y)+g(\nabla _{X}Y+Y,\nabla _{X}Y+Y)\right)-\\&-{1 \over 2}\left((\nabla _{X}Y-Y)\otimes (\nabla _{X}Y-Y)+g(\nabla _{X}Y-Y,\nabla _{X}Y-Y)\right)\end{aligned}}}$

Відповідно ${\displaystyle \nabla _{X}(Y\otimes Y+g(Y,Y))}$ є сумою перетинів виду ${\displaystyle \pm {1 \over 2}(Z\otimes Z+g(Z,Z))}$ і тому належить відповідному ідеалу.

• Алгебра Кліфорда
• Векторне розшарування
• Зв'язність (векторні розшарування)
• Ріманів многовид

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004). Heat kernels and Dirac operators. Grundlehren Text Editions (вид. Paperback). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-20062-2. Zbl 1037.58015.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton Mathematical Series 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. Zbl 0688.57001.