Розшарування реперів

У математиці, розшаруванням реперів називається головне розшарування F(E) асоційоване із деяким векторним розшаруванням E. Шаром над точкою x у F(E) є множина всіх впорядкованих базисів, або реперів векторного простору E_x. Загальна лінійна група натурально діє на F(E) заміною базисів. Із цією дією розшарування реперів є головним GL(k, R)-розшаруванням (де k є рангом E).

Для гладкого многовиду розшарування реперів розглядають в основному для дотичного розшарування. Воно також називається дотичним розшаруванням реперів.

Означення і побудова

Нехай E → X є дійсним векторним розшаруванням рангу k над топологічним простором X. Репером у точці x ∈ X називається впорядкований базис векторного простору E_x. Еквівалентно репер можна розглядати як лінійний ізоморфізм

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Множина всіх реперів у точці x, позначається F_x. На ній задана натуральна дія загальної лінійної групи GL(k, R) невироджених k × k матриць: елемент групи g ∈ GL(k, R) діє на репер p через композицію відображень даючи в результаті репер

p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Із теорії систем лінійних рівнянь випливає, що дія GL(k, R) на F_x є вільною і транзитивною. Як топологічний простір, F_x є гомеоморфним до GL(k, R) однак на ньому не задається групова структура, оскільки немає однозначного "виділеного репера".

Для розшаруванням реперів для векторного розшарування E (позначається F(E) або F_GL(E)) базовим простором є X, а загальним простором — диз'юнктне об'єднання всіх F_x:

\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.

Кожна точка у F(E) є парою (x, p) де x є точкою у X, p — репером у x. Проекція π : F(E) → X розшарування реперів відправляє точку (x, p) у точку x.

На F(E) можна задати дію групи GL(k, R) справа у межах шару як вище. Дія цією групи є вільною, а орбітами є шари розшарування.

На розшаруванні реперів F(E) можна ввести природну топологію і структуру локально тривіального розшарування визначені векторним розшаруванням E. Нехай (U_i, φ_i) будуть локальними тривіалізаціями для E. Тоді для кожної точки x ∈ U_i існує лінійний ізоморфізм φ_i,x : E_x → R^k. Звідси також одержується бієкція

\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbf {R} )

задана як

\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).

Із цими бієкціями на кожному π⁻¹(U_i) можна ввести топологію простору U_i × GL(k, R) (після чого $\psi _{i}$ стануть гомеоморфізмами). Топологія на F(E) є фінальною топологією коіндукованою відображеннями включення π⁻¹(U_i) → F(E).

При такій топології F(E) стає головним локально тривіальним розшаруванням над X із структурною групою GL(k, R) і локальними тривіалізаціями ({U_i}, {ψ_i}).

Усі побудови і означення можна також розглядати у категорії гладких многовидів: якщо E є гладким векторним розшаруванням над гладким многовидом M тоді на розшаруванні реперів E можна ввести структуру головного гладкого розшарування над M.

Асоційоване векторне розшарування

Векторне розшарування E і його розшарування реперів F(E) є асоційованими розшаруваннями. Одне розшарування повністю визначає інше. Розшарування реперів F(E) можна одержати із E як вище.

Для лінійного представлення ρ : GL(k, R) → GL(V,F) існує векторне розшарування

\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V

асоційоване із F(E) яке задається як добуток F(E) × V за модулем відношення еквівалентності (pg, v) ~ (p, ρ(g)v) для всіх g у GL(k, R). Нехай класи еквівалентності позначаються як [p, v].

Векторне розшарування E є натурально ізоморфним розшаруванню F(E) ×_ρ R^k де ρ є фундаментальним представленням GL(k, R) на R^k. Ізоморфізм задається як

[p,v]\mapsto p(v)

де v є вектором у R^k і p : R^k → E_x є репером у точці x.

Будь-яке векторне розшарування асоційоване із E можна одержати у подібний спосіб. Наприклад, двоїсте розшарування до E задається як F(E) ×_ρ* (R^k)* де ρ* є двоїстим фундаментальним представленням.

Дотичні розшарування реперів

Для гладких многовидів M переважно розглядають розшарування реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M. Таке розшарування реперів M часто позначається FM або GL(M) замість F(TM). Якщо многовид M є n-вимірним, то дотичне розшарування має ранг n, а розшарування реперів M є головним GL(n, R) розшаруванням над M.

Гладкі репери

Перетин розшарування реперів M називається гладким репером на M. Із загальних результатів для головних розшарувань випливає, що розшарування реперів є тривіальним над будь-якою відкритою множиною U у M для якої існує гладкий репер. Для такого гладкого репера s : U → FU, тривіалізація ψ : FU → U × GL(n, R) задається як

\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)

де p є репером у точці x. Як наслідок для многовиду існують векторні поля, що утворюють базис дотичних просторів у всіх точках якщо і тільки якщо для розшарування реперів M існує глобальний перетин.

Оскільки дотичне розшарування M є тривіальним над координатними околами M то і розшарування реперів є над ними тривіальними. Для координатного околу U із координатами (x¹,…,xⁿ) координатні векторні поля

\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)

задають гладкий репер на U.

Тавтологічна форма

Розшарування реперів многовиду M є окремим випадком головних розшарувань і його геометрія є фундаментально пов'язана із геометрією M. Цей зв'язок можна описати за допомогою векторозначної 1-форми, яка називається тавтологічною 1-формою. Нехай x є точкою многовида M і p — репером у точці x, тобто

p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M

є лінійним ізоморфізмом Rⁿ і дотичного простору M у точці x. Тавтологічна форма на FM є Rⁿ-значною 1-формою θ заданою як

\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )

де ξ є дотичним вектором до FM у точці (x,p), відображення p⁻¹ : T_xM → Rⁿ є оберненим до відображення у означенні репера, а dπ є диференціалом проекції π : FM → M. Дана форма є горизонтальною тобто її значення є нульовим на векторах дотичних до шарів π і також

R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta

де R_g є відображення правої дії елемента g ∈ GL(n, R). Горизонтальні форми, що задовольняють цю рівність називаються базовими або тензорними формами на FM. Такі форми перебувають у бієктивній відповідності із TM-значними 1-формами на M і у бієктивній відповідності із гладкими відображеннями розшарувань TM → TM над M. У цій останній відповідності θ є відповідником тотожного відображення на TM.

Ортонормальне розшарування реперів

Якщо на векторному розшаруванні E задано ріманова метрика розшарування, то кожен шар E_x є не лише векторним простором, а на ньому заданий також скалярний добуток. Тоді можна розглядати множину всіх множина всіх ортонормальних реперів у E_x. Ортонормальним репером для E_x є впорядкований ортонормальний базис для E_x або, еквівалентно, лінійна ізометрія

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}

де на R^k задано стандартний скалярний добуток. Ортогональна група O(k) діє вільно і транзитивно на множині всіх ортонормальних реперів.

Загальним простором ортонормального розшарування реперів для розшарування E (позначається F_O(E)) є множина всіх ортонормальних реперів у кожній точці x базового простору X. Ортонормальне розшарування реперів рангу k для ріманового векторного розшарування E → X є головним O(k)-розшаруванням над X. Знову ж всі побудови можна розглядати також у категорії гладких многовидів.

Якщо векторне розшарування E є орієнтовним тоді можна також розглянути орієнтовне ортонормальне розшарування реперів для E, що позначається F_SO(E) і є головним SO(k)-розшаруванням всіх додатно орієнтованих ортонормальних реперів.

Якщо M є n-вимірним рімановим многовидом, то ортонормальне розшарування реперів M, позначається F_OM або O(M) і є за означенням ортонормальним розшаруванням реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M (із відповідною рімановою метрикою). Якщо M є орієнтовним, то подібно дається означення орієнтовного ортонормального розшарування реперів F_SOM.

Для ріманового векторного розшарування E, ортонормальне розшарування реперів є головним O(k)-підрозшаруванням загального лінійного розшарування реперів. Іншими словами включення

i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)

є головним відображенням розшарування.

G-структури

Якщо на гладкому многовиді M задана деяка додаткова структура часто виникає потреба розглядати підрозшарування розшарування реперів M яке узгоджується із цією структурою. Наприклад, якщо M є ріманів многовид то природно виникає поняття ортонормального розшарування реперів M.

Загалом, якщо M є гладким n-многовидом і G є підгрупою Лі групи GL(n, R) то G-структурою на M називається головне G-розшарування F_G(M) над M із G-узгодженим відображенням розшарувань

{\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)

над M.

Прикладами таких структур є:

Ріманова метрика на M породжує O(n)-структуру на M.
Для орієнтовного многовиду існує орієнтовне розшарування реперів яке є GL⁺(n, R)-структурою на M.
Форма об'єму на M задає SL(n, R)-структуру на M.
На 2n-вимірному симплектичному многовиді існує натуральна Sp(2n, R)-структура.
На 2n-вимірному комплексному або майже комплексному многовиді існує натуральна GL(n, C)-структура.

У багатьох із цих випадків G-структура на M однозначно визначає відповідну структуру на M. Наприклад, SL(n, R)-структура на M визначає відповідну форму об'єму на M. Проте в деяких випадках, зокрема для симплектичних і комплексних многовидів, необхідні додаткові умови інтегровності. Sp(2n, R)-структура на M однозначно задає невироджену 2-форму на M але для того щоб M був симплектичним многовидом ця 2-форма має бути замкнутою.

Див. також

Література

Luis A. Cordero, C. T. J. Dodson, Manuel de León (1988). Differential Geometry of Frame Bundles. Mathematics and Its Applications 47. Springer Netherlands. ISBN 9789401070621.
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 (вид. New). Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in differential geometry (PDF). Springer-Verlag. Архів оригіналу за 30 березня 2017. Процитовано 2 серпня 2008.
Sternberg, S. (1983). Lectures on Differential Geometry (вид. (2nd ed.)). New York: Chelsea Publishing Co. ISBN 0-8218-1385-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.