Диференціал Абеля

Абеля диференціал — голоморфний, або мероморфний диференціал на компактній, або замкнутій поверхні Рімана S.

Нехай g — рід поверхні S; a₁b₁a₂b₂..a_gb_g — цикли канонічної бази S. В залежності від характеру особливостей розрізняють диференціали Абеля трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: ${\displaystyle I\,\subset \,II\,\subset \,III}$. Диференціал Абеля І-го роду — це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі U кожної точки ${\displaystyle P_{0}\,\in \,\!S}$ мають вигляд ${\displaystyle \omega \,=\,pdz\,=\,p(z)dz}$, де ${\displaystyle z=x+iy}$ — локальна уніформізуюча змінна в U, ${\displaystyle dz\,=\,dx+idy}$, а p(z) — голоморфна, або регулярна аналітична функція на U. Додавання і множення диференціалів Абеля визначаються звичайними правилами(див. диференціал).

Диференціали Абеля І роду формують векторний простір ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ розмірності g. Після введення скалярного добутку

${\displaystyle (\omega ,\pi )\,=\,\iint _{D}\omega *{\overline {\pi }}}$,

де ${\displaystyle \omega *{\overline {\pi }}}$ — зовнішній добуток ${\displaystyle \omega }$ на зірково спряжений диференціал ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ перетворюється в Гільбертів простір.

Нехай ${\displaystyle A_{1},\,B_{1},\,A_{2},\,B_{2},\,\ldots A_{g},\,B_{g}}$ — А- і В- періоди другого роду диференціала Абеля. І роду ${\displaystyle \omega }$, тобто інтеграли

${\displaystyle A_{j}\,=\,\int _{a_{j}}\omega ,B_{j}\,=\,\int _{b_{j}}\omega ,j=1,\,2,\,\ldots ,\,g}$. (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

${\displaystyle {\|\omega \|}^{2}\,=\,i\sum _{j=1}^{g}\left(\,A_{j}{\overline {B}}_{j}\,-\,B_{j}{\overline {A}}_{j}\right)\,\geq \,0}$

Нехай ${\displaystyle A_{1}^{\prime },\,B_{1}^{\prime },\,A_{2}^{\prime },\,B_{2}^{\prime },\,\ldots A_{g}^{\prime },\,B_{g}^{\prime }}$ — періоди другого роду диференціала Абеля І-го роду ${\displaystyle \pi }$, то

${\displaystyle i(\omega ,\,{\overline {\pi }})\,=\,\sum _{j=1}^{g}\left(\,A_{j}B_{j}^{\prime }\,-\,B_{j}A_{j}^{\prime }\right)\,=\,0}$. (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для диференціала Абеля І роду. Канонічна база диференціала Абеля І роду, тобто канонічна база ${\displaystyle \varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{g}}$ простору ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$, вибирається таким чином, щоб

${\displaystyle A_{ij}\,=\,\int _{a_{i}}\varphi _{i}\,=\,\delta _{ij}}$,

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера. При цьому матриця ${\displaystyle (B_{ij}),i,j={\overline {1,g}}}$, B-періодів

${\displaystyle B_{ij}\,=\,\int _{b_{j}}\varphi _{ij}}$

симетрична, а матриця уявних частин ${\displaystyle (Im\;B_{ij})}$ додатно визначена. Диференціал Абеля І роду, у якого всі А- або В- періоди тотожно рівні нулю рівний нулю. Якщо всі періоди диференціала Абеля І роду ${\displaystyle \omega }$ дійсні, то ${\displaystyle \omega =0}$.

Диференціали Абеля ІІ і ІІІ роду відносяться до мероморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на S не більш ніж скінченну множину особливостей типу полюсів з локальним представленням

${\displaystyle \left({\frac {a_{-n}}{z^{n}}}\,+\,{\frac {a_{-n+1}}{z^{n-1}}}\,+\,\ldots \,+\,{\frac {a_{-1}}{z}}\,+\,f(\,z\,)\right)dz}$, (3)

де f(z) — регулярна функція, n — порядок полюсу(якщо ${\displaystyle a_{-n}\,\neq \,0}$), a_-n — лишок в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. Диференціал Абеля ІІ роду — це мероморфні диференціали, в яких всі лишки дорівнюють нулю. Тобто їхнє локальне представлення має такий вигляд:

${\displaystyle \left({\frac {a_{-n}}{z^{n}}}\,+\,{\frac {a_{-n+1}}{z^{n-1}}}\,+\,\ldots \,+\,{\frac {a_{-2}}{z^{2}}}\,+\,f(\,z\,)\right)dz}$.

Диференціал Абеля ІІІ роду — це диференціал Абеля довільного вигляду.

Якщо ${\displaystyle \omega }$ — довільний диференціал Абеля з А-періодами ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\,\ldots ,\,A_{g}}$, то диференціал Абеля ${\displaystyle \omega ^{\prime }\,=\,\omega -A_{1}\varphi _{1}\,-\,A_{2}\varphi _{2}\,-\,\ldots \,-\,A_{g}\varphi _{g}}$ має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P₁ i P₂ — довільні точки S, то можна побудувати диференціал Абеля ${\displaystyle \omega _{1,2}}$ з особливостями ${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)dz}$ в P₁ і ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{z}}\right)dz}$ в P₂, який називається нормальним диференціалом Абеля ІІІ роду. Нехай ${\displaystyle \omega }$ — довільний диференціал Абеля з лишками ${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{n}}$ в точках ${\displaystyle P_{1},\,P_{2},\,\ldots ,\,P_{n}}$ відповідно, причому ${\displaystyle c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=0}$. Якщо ${\displaystyle P_{0}\neq P_{j}\;j={\overline {1,n}}}$ така довільна точка на S то ${\displaystyle \omega }$ можна представити у вигляді лінійної комбінації нормованого диференціала Абеля ІІ роду ${\displaystyle \omega _{2}}$, скінченного числа нормальних диференціалів Абеля ${\displaystyle \omega _{j,0}}$ і базисних диференціалів Абеля І роду ${\displaystyle \omega _{k}}$:

${\displaystyle \omega =\omega _{2}+\sum _{j=1}^{n}c_{j}\omega _{j,0}+\sum _{k=1}^{g}A_{k}\varphi _{k}}$.

Нехай ${\displaystyle \omega _{3}}$ — диференціал Абеля ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками ${\displaystyle c_{j}}$ в точках ${\displaystyle P_{j},\,j=1,2,...,n}$, а ${\displaystyle \omega _{1}}$ — довільний диференціал Абеля І роду;

${\displaystyle A_{k}=\int _{a_{k}}\omega _{1},\,\,B_{k}=\int _{b_{k}}\omega _{1},}$

${\displaystyle A_{k}^{\prime }=\int _{a_{k}}\omega _{3},\,\,B_{k}^{\prime }=\int _{b_{k}}\omega _{3},\,k=1,2,...,g,}$

причому цикли ${\displaystyle a_{k},\,b_{k}}$ не проходять через полюси ${\displaystyle \omega _{3}}$. Нехай точка ${\displaystyle P_{0}\,\in \,\!S}$ не лежить на циклах ${\displaystyle a_{k}}$ і ${\displaystyle b_{k}}$, а ${\displaystyle L_{j}}$ — шлях від ${\displaystyle P_{0}}$ до ${\displaystyle P_{j}}$. Тоді маємо білінійні співвідношення для диференціал Абеля І і ІІІ роду:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{g}\left(A_{k}B_{k}^{\prime }-A_{k}^{\prime }B_{k}\right)=2\pi i\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{L_{j}}\omega _{1}}$.

Аналогічні співвідношення існують і між диференціалами Абеля І і ІІ роду.

Довільний диференціал Абеля ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду ${\displaystyle 2\pi ic_{j}}$ вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси ${\displaystyle P_{j}}$. Таким чином для довільного циклу ${\displaystyle \gamma }$ маємо:

${\displaystyle \int _{\gamma }\omega _{3}=\sum _{k=1}^{g}\left(l_{k}A_{k}+l_{g+k}B_{k}\right)+2\pi i\sum _{j=1}^{n}m_{j}c_{j},}$

де ${\displaystyle l_{k},\,l_{g+k},\,m_{k}}$ — цілі числа.