Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

${\displaystyle ij=a+bi+cj+dk}$

Погрупувавши доданки

${\displaystyle (i-c)(j-b)=(a+cb)+dk}$

Після заміни змінних, отримаємо:

${\displaystyle ij=k}$

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно:

${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)j}$.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд ${\displaystyle \ a+0I.}$

• ${\displaystyle \ (a_{1}+I_{1})+(a_{2}+I_{2})=(a_{1}+a_{2})+(I_{1}+I_{2})}$ — додавання,
• ${\displaystyle \ (a_{1}+I_{1})\cdot (a_{2}+I_{2})=a_{1}a_{2}+(a_{1}I_{2}+a_{2}I_{1})+I_{1}I_{2}}$ — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Визначимо операції:

• ${\displaystyle \lVert z\rVert \equiv z{\bar {z}}={\bar {z}}z}$ — норма числа,
• ${\displaystyle {z_{1} \over z_{2}}\equiv {z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \lVert z_{2}\rVert }}$ — ділення чисел.

При ${\displaystyle I^{2}\in \mathbb {R} }$ можна визначити:

• ${\displaystyle \ {\overline {a+I}}\equiv a-I}$ — спряжене число,
• ${\displaystyle \lVert z\rVert \equiv (a^{2}-I^{2})\in \mathbb {R} }$.

Якщо присутня уявна одиниця ${\displaystyle \ j^{2}=+1,}$ то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис:

${\displaystyle \ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ чи ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ рівні нулю.

• Двовимірні гіперкомплексні числа

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)