Стичне коло
У диференціальній геометрії кривих, стичним колом достатньо гладкої плоскої кривої в даній точці р, на кривій, традиційно визначається як коло, що проходить через р і пару додаткових точок на цій кривій, які розташовані нескінченно близько до р. Центр кола знаходиться на внутрішній нормалі, а її кривина та ж сама, що і у даної кривої в цій точці. Тим самим радіус стичного кола визначається через кривину кривої: радіус дорівнює 1/k².
Одне з дотичних кіл, яке в заданій точці наближається до кривої найбільш щільно, було названо Лейбніцом «цілуючим колом» (лат. circulus osculans).
Центр і радіус стичного кола в даній точці називають центром кривини і радіусом кривини кривої в цій точці. Геометрична побудова була описана Ісааком Ньютоном у його Началах.
Опис у простих термінах
Уявіть собі автомобіль, що рухається по вигнутій дорозі по величезній плоскій площині. Раптом, в один прекрасний момент вздовж дороги, рульове колесо блокується в поточному положенні. Після цього автомобіль рухається по колу, яке «цілує» шлях авто в точці блокування. Кривина кола дорівнює, кривині дороги в цій точці. Це коло є стичним колом до кривої дороги в цій точці.
Математичний опис
Нехай γ(s) буде регулярною параметричною плоскою кривою, де s — довжина кривої, або натуральний параметр. Тоді можна визначити дотичний вектор T, одиничний вектор нормалі N, кривину k(s) і радіус кривини R(s) в кожній точці:
Припустимо, що P — точка на γ, де k ≠ 0. Відповідний центр кривини точки Q на відстані R уздовж N в тому ж напрямку, якщо k є додатною, і в протилежному напрямку, якщо k від'ємна. Коло з центром у точці Q і радіусом R називається cтичним колом до кривої γ в точці P.
Якщо C є регулярною просторовою кривою, то стичне коло визначається аналогічним чином, використовуючи одиничний вектор нормалі N. Він лежить у стичній площині, яка натягнута на дотичний та головний нормальний вектор T і N в точці P.
Плоска крива також може бути надана в іншій регулярній параметризації де регулярність означає, що для усіх . Тоді формули для кривини k(t), одиничний вектор нормалі N(t), радіуса кривини R(t), і центру Q(t) дотичного кола будуть
- ,
Властивості
Для кривої C, заданої достатньо гладкими параметричними рівняннями (двічі неперервно диференційованими), стичні кола можуть бути отримані в результаті граничного переходу: це межа послідовності кіл, що проходить через три різні точки на C, які наближаються до P.[1] Це повністю аналогічно побудові дотичної до кривої, як межі січних ліній через пари різних точок C, які наближаються до P.
Стичне коло S до плоскої кривої C в регулярній точці P може бути охарактеризоване такими властивостями:
- Коло S проходить через точку P.
- Коло S і крива C мають спільну дотичну в точці P, і тому у них спільна нормаль.
- У околі точки P, відстань між точками кривої C та кола S в напрямку нормалі зменшується з кубічним або з більш високим ступенем відстані до P в дотичному напрямку.
Про це зазвичай кажуть, що «крива та її дотичне коло мають дотик третього або більш високого порядку» у точці P. Грубо кажучи, вектор-функції, що представляють C і S мають однакові значення разом зі своїми першими і другими похідними в точці P.
Якщо похідна кривини від s не дорівнює нулю в точці P, то тоді стичне коло перетинає криву C в точці P. Точки P, в яких похідна кривини дорівнює нулю, називаються вершинами. Якщо P є вершиною, то C та стичне коло мають дотик порядку, як мінімум, чотири. Якщо, крім того, кривина має ненульовий локальний максимум або мінімум в точці P, тоді стичне коло торкається кривої C в точці P, але не перетинає її.
Крива C може бути отримана як обгортка однопараметричного сімейства її стичних кіл. Їх центри, тобто центри кривини, утворюють іншу криву яка називається еволютою C. Вершини C відповідають особливим точкам на його еволюті.
Приклади
Парабола
Для параболи
радіус кривини
У вершині радіус кривини дорівнює R(0)=0.5 (див. малюнок). Парабола зі своїм стичним колом має дотик четвертого порядку . Для великих t радіус кривини збільшується ~ t3, тобто крива випрямляється все більше і більше.
Фігури Ліссажу
Фігури Ліссажу із співвідношенням частот (3:2) можуть бути параметризрвані таким чином
Її знаковизначена кривина k(t), одиничний вектор нормалі N(t) і радіус кривини R(t), будуть
Дивіться малюнок анімації. «Вектор прискорення» буде другою похідною від довжини кривої .
Примітки
- Actually, point P plus two additional points, one on either side of P will do. See Lamb (on line): Horace Lamb (1897). An Elementary Course of Infinitesimal Calculus. University Press. с. 406.
Література
Деякі історичні нотатки по дослідженню кривих дивись
- Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History. Princeton University Press. с. 72. ISBN 0-691-07082-2.
- Roy Porter, editor (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science. Cambridge University Press. с. 313. ISBN 0-521-57243-6.
Щодо застосування до їзди транспортних засобів дивись
- JC Alexander and JH Maddocks: On the maneuvering of vehicles[недоступне посилання з травня 2019]
- Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. с. 1. ISBN 0-89871-259-9.
Посилання
- Створіть власну анімацію стичних кіл (Maple-Worksheet)
- Weisstein, Eric W. Стичне коло(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Модуль по кривині