Стільник (геометрія)

В геометрії стільник — це заповнення простору багатогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.

Кубічний стільник

Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний багатогранник можна спроектувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.

Можна заповнити простір багатокутниками, які не мають спільних вершин, наприклад, шляхом цегляного вкладання. Таке вкладання не є правильною мозаїкою, оскільки кути лежать на сторонах сусіднього багатокутника. Також і в правильному стільнику, не повинно бути ребер або вершин, що лежать всередині (або частково на) грані. Зауважимо, що якщо ми інтерпретуємо кожну цеглину як шестикутник, що має внутрішній кут 180 градусів, ми можемо прийняти таку укладку як правильну мозаїку. Однак не всі геометри приймають такі шестикутники.

Класифікація

Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.

Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому кубічний стільник є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є тетраедр Гілла і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.

Однорідний тривимірний стільник

Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних багатогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі[1], званих також архімедовими стільниками.

Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):

Тип Кубічний стільник Квазіправильний стільник
Комірки Кубічні Октаедральні і тетраедральні
Шар

Тетраедрально-октаедральний стільник і повернутий тетраедрально-октаедральний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.

Багатогранники, що заповнюють простір

Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про багатогранник, що заповнює простір[2].

Тільки п'ять багатогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають параллелогранниками:

  1. Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
  2. Шестикутний призматичний стільник[3];
  3. Ромбододекаедральний стільник;
  4. Подовжений додекаедральний стільник[4];
  5. Стільник з глибокозрізаних кубів[5].


Кубічний стільник

Шестикутний призматичний стільник

Ромбододекаедральний стільник


Подовжений ромбододекаедральний стільник

Стільник з глибокозрізаних кубів
Куб(паралелепіпед) Шестикутна призма Ромбододекаедр Подовжений додекаедр[en] Зрізаний октаедр
3 довжини ребер 3+1 довжини ребер 4 довжини ребер 4+1 довжин ребер 6 довжин ребер

Інші відомі приклади:

  • Трикутний призматичний стільник.
  • Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник
  • Зрізаний тріакістетраедральний стільник. Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий вигляд[6].
  • Трапецеїдально-ромбічний додекаедральний стільник[7].
  • Прості ізоедричні мозаїки[8].

Інші стільники з двома і більше багатогранниками

Іноді два[9] і більше різних багатогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра-Фелана, запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату [10].

Структура Вейра-Фелана (з двома типами комірок)

Неопуклі тривимірні стільники
  • Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають пакування малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в кубі Йошімото.
  • Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.
Гіперболічний малий додекаедральний стільник у гіперболічному просторі

Гіперболічні стільники

У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут багатогранника залежить від розміру багатогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і багатогранники.

Досліджено 4 види компактних правильних гіперболічних стільників і багато однорідних гіперболічних стільників.

Двоїстість стільників у тривимірному просторі

Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:

  • комірок на вершини;
  • граней на ребра.

Для правильних стільників:

  • Кубічний стільник самодвоїстий.
  • Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
  • Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
  • Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда[11].

Самодвоїсті стільники

Стільники можуть бути самодвоїстими. Всі n-вимірні гіперкубічні стільники з символами Шлефлs {4,3n-2,4} самодвоїсті.

Див. також
  • Список однорідних евклідових мозаїк
  • Правильні стільники

Примітки
  1. Grünbaum, 1994.
  2. Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір
  4. Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір
  5. Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір
  6. Voronoi Polyhedron
  7. Qian, Strahs, Schlick, 2001.
  8. Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005.
  9. Архивированная копия. Архів оригіналу за 30 червня 2015. Процитовано 16 травня 2012. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
  10. Pauling, 1960.
  11. Inchbald, 1997.

Література
  • H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
  • K. Critchlow. Order in space. — New York : Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
  • Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вип. 4(2).
  • P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London : MIT press, 1978.
  • Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вип. 15.
  • O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вип. A61.
  • Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
  • G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вип. 81, July.

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.