Призма (математика)

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.

Зрізана трикутна призма

Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.

Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.

Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний багатокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.

Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним багатогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних багатогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами[2].

• Основи призми є рівними багатокутниками.
• Бічні грані призми є паралелограмами.
• Бічні ребра призми паралельні і рівні.
• Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

${\displaystyle V=S\cdot h}$

• Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ (тут s — довжина сторони багатокутника).

• Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
• Площа бічної поверхні довільної призми ${\displaystyle S=P\cdot l}$, де ${\displaystyle P}$ — периметр перпендикулярного перерізу, ${\displaystyle l}$ — довжина бічного ребра.
• Площа бічної поверхні прямої призми ${\displaystyle S=P\cdot h}$, де ${\displaystyle P}$ — периметр основи призми, ${\displaystyle h}$ — висота призми.
• Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.}$

• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
• Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
• Двоїстим багатогранником прямої призми є біпіраміда.

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група D_nh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії O_h порядку 48, що містить три версії D_4h в якості підгруп. Групою обертань є D_n 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O порядку 24, що має три версії D₄ в якості підгруп.

Група симетрії D_nh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

${\displaystyle V=S\cdot h}$

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}$

Площа бічної поверхні призми дорівнює ${\displaystyle S=PH}$, де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює ${\displaystyle S=2S+PH}$, де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}S^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nSh.}$

Призматичний багатогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний багатогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних багатогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного багатогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного багатогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний багатогранник з елементами ${\displaystyle f_{i}}$ (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний (${\displaystyle n+1}$)-вимірний багатогранник буде мати ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1}}$ елементів розмірності i (при ${\displaystyle f_{-1}=0}$, ${\displaystyle f_{n}=1}$).

За розмірностями:

• Беремо багатокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і ${\displaystyle 2+n}$ гранями.
• Беремо багатогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ${\displaystyle 2e+v}$ ребрами, ${\displaystyle 2f+e}$ гранями і ${\displaystyle 2+f}$ комірками.
• Беремо 4-вимірний багатогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ${\displaystyle 2e+v}$ ребрами, ${\displaystyle 2f+e}$ (2-вимірними) гранями, ${\displaystyle 2c+f}$ комірками ${\displaystyle 2+c}$ гіперкомірками.

Скручена призма — це неопуклий призматичний багатогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут ${\displaystyle {\frac {\pi }{q}}}$ радіан (${\displaystyle {\frac {180}{q}}}$ градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається багатогранником Шенхардта.

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: D_n, [n,2]⁺, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна	Чотирикутні		12-кутна
Багатогранник Шенхардта	Скручена квадратна антипризма	Квадратна антипризма	Скручена дванадцятикутна антипризма

• Призматоїд
• Антипризма
• Паралелепіпед
• Куб
• Циліндр
• Паралелограм
• Граф призми

• Призма // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 160. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Weisstein, Eric W. Prism(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
• Nonconvex Prisms and Antiprisms
• Surface Area MATHguide
• Volume MATHguide
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою Stella.
• Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.
• Гордєєва Є. П. Ч. 1 // Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл / Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко. — Луцьк : ЛДТУ, 2007. — 191 с. — ISBN ISBN 978-966-7667-70-2.
• Eric W. Weisstein, Prism at MathWorld.