Теорема Аміцура — Левицького

Теорема Аміцура — Левицького — твердження про рівність нулю стандартного многочлена степеня $2n$ від довільних матриць порядку $n$ . Прямий наслідок цього результату — матриці порядку $n$ утворюють кільце з поліноміальними залежностями з мінімальним ступенем тотожності, що дорівнює $2n$ .

Теорема вперше доведена ізраїльськими математиками Шімшоном Аміцуром і Яковом Левицьким у 1950 році.

Згодом було дано кілька принципово інших доведень. Бертран Костант у 1958 році вивів теорему Аміцура — Левицького з теореми Кошуля — Самельсона про примітивні когомології алгебр Лі. Річард Сван у 1963 році дав просте доведення на основі теорії графів.

Юрій Размислов у 1974 році побудував доведення, що спирається на теорему Гамільтона — Келі. Шмуель Россет у 1976 році подав коротке доведення, що використовує зовнішню алгебру векторного простору розмірності.

Означення та формулювання

Стандартним многочленом степеня $n$ називається многочлен:

S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }\in S_{n}}(-1)^{\sigma }x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\

,

де сума береться за всіма $n!$ елементами симетричної групи $S_{n}$ . Тут $(-1)^{\sigma }$ позначає знак перестановки $\sigma$ і елементи $x_{1},\dots ,x_{n}$ не комутують між собою.

Теорема Аміцура — Левицького стверджує, що для довільних матриць $A_{1},\dots ,A_{2n}$ порядку $n$ з елементами із деякого комутативного кільця R, стандартний многочлен від цих матриць є рівним нулю:

S_{2n}(A_{1},\ldots ,A_{2n})=0

.

Доведення

Тут подано доведення Размислова на основі такого твердження із лінійної алгебри:

Лема

Нехай C — комутативна $\mathbb {Q}$ -алгебра з одиницею і $A\in M_{n}(C)$ — матриця для якої $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{2}=...=\operatorname {tr} A^{n}=0.$ Тоді також $A^{n}=0.$

Доведення леми

Згідно теореми Гамільтона — Келі матриця A є коренем свого характеристичного многочлена: $A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\ldots +\alpha _{1}A+\alpha _{0}=0.$

Але на основі тотожностей Ньютона, характеристичний многочлен можна записати

p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},

де всі многочлени

q_{n-i}

мають раціональні коефіцієнти і нульові вільні члени окрім

q_{0}=1.

З рівності нулю слідів степенів матриці отримуємо, що і

\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n-1}=0,

а тому

A^{n}=0.

Доведення теореми

Якщо всі елементи деякого кільця R задовольнять рівності $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ то для довільного комутативного кільця A також елементи тензорного добутку $R\otimes _{\mathbb {Z} }A$ задовольняють цій же рівності. Справді, оскільки $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є полілінійним (тобто $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i}+y_{i},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+S_{n}(x_{1},\ldots ,y_{i},\ldots ,x_{n})$ для всіх змінних) достатньо довести, що вказана рівність виконується при підстановці $x_{i}=r_{i}\ \otimes a_{i}\in R\otimes _{\mathbb {Z} }A.$ Дійсно,

{\begin{aligned}S_{n}(r_{1}\otimes a_{1},\ldots ,r_{n}\otimes a_{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }r_{\sigma _{1}}\otimes a_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}}\otimes a_{\sigma _{n}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{\sigma _{1}}\cdots a_{\sigma _{n}})=\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{1}\cdots a_{n})=S_{n}(r_{1},\ldots ,r_{n})\otimes (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})=0.\end{aligned}}

.

Оскільки $M_{n}(C)=M_{n}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }C$ і $M_{n}(\mathbb {Z} )\subset M_{n}(\mathbb {Q} ),$ то з попереднього випливає, що твердження достатньо довести для матриць із $M_{n}(\mathbb {Q} )$ .

Розглянемо тепер зовнішню алгебру $\Lambda (V)$ над векторним простором над $\mathbb {Q}$ розмірності 2n із базисом $e_{1},e_{2},...,e_{2n}.$ Підалгебра $\Lambda _{e}(V)$ цієї алгебри елементами якої є елементи парних компонент у градації $\Lambda (V)$ є комутативною.

Нехай $A_{1},...,A_{2n}$ — довільні елементи з $M_{n}(\mathbb {Q} )$ і позначимо $B=A_{1}\otimes e_{1}+...+A_{2n}\otimes e_{2n}\in M_{n}(\Lambda (V))=M_{n}(\mathbb {Q} )\otimes \mathbb {Q} \Lambda (V).$

Тоді $B_{2n}=S_{2n}(A_{1},...,A_{2n})\otimes (e1\wedge e_{2}\wedge ...\wedge e_{2n})$ і $B^{2}=D=\sum [A_{i},A_{j}]\otimes e_{i}\wedge e_{j}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)).$

Також можна записати

D^{i}=B^{2i}=\sum S_{2i}(A_{j_{1}},...,A_{j_{2k}})\otimes e_{j_{1}}\wedge ...\wedge e_{j_{2k}}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)),\ i\leqslant n.

Для стандартних многочленів виконуються рівності

{\begin{aligned}S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})&=x_{1}S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})-x_{2}S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})+...-x_{2i}S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})=\\&=-S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})x_{1}+S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})x_{2}+...+S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})x_{2i}.\end{aligned}}

Звідси можна записати:

S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})={1 \over 2}\sum _{k=1}^{2i}\left[x_{k},S_{2i-1}(x_{1},...,{\hat {x_{k}}},...,x_{2i})\right].

Отож кожен доданок у виразі для матриць $D^{i}$ можна записати як комутатор двох матриць. З огляду на те, що слід комутатора двох матриць дорівнює нулю, то сліди всіх цих доданків, а тому і сліди всіх матриць $D^{i},\;\;1\leqslant i\leqslant n$ є рівними нулю. Згідно леми тоді також $D^{n}=B^{2n}=0$ і звідси $S_{2n}(A_{1},A_{2},...,A_{2n})=0.$

Література

Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1950). Minimal identities for algebras. Proceedings of the American Mathematical Society]] 1: 449–463. ISSN 0002-9939. JSTOR 2032312. MR 0036751. doi:10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9.
Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1951). Remarks on Minimal identities for algebras. Proceedings of the American Mathematical Society 2: 320–327. ISSN 0002-9939. JSTOR 2032509. doi:10.2307/2032509.
Drensky, Vesselin; Formanek, Edward (2004). Polynomial Identity Rings. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7934-7.
Formanek, Edward (1991). The polynomial identities and invariants of n×n matrices. Regional Conference Series in Mathematics 78. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001.
Kostant, Bertram (1958). A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory. J. Math. Mech. 7: 237–264. MR 0092755. doi:10.1512/iumj.1958.7.07019.
Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38, вип. 4. — С. 727. — ISSN 0373-2436. — DOI:10.1070/IM1974v008n04ABEH002126.
Rosset, Shmuel (1976). A new proof of the Amitsur–Levitski identity. Israel Journal of Mathematics 23 (2): 187–188. ISSN 0021-2172. MR 0401804. doi:10.1007/BF02756797.
Rowen, Louis Halle (1980). Polynomial identities in ring theory. Pure and Applied Mathematics 84. New York: Academic Press Inc. с. xx+365. ISBN 0-12-599850-3. MR 576061.
Swan, Richard G. (1963). An application of graph theory to algebra. Proceedings of the American Mathematical Society 14: 367–373. ISSN 0002-9939. JSTOR 2033801. MR 0149468. doi:10.2307/2033801.
Swan, Richard G. (1969). Correction to "An application of graph theory to algebra". Proceedings of the American Mathematical Society 21: 379–380. ISSN 0002-9939. JSTOR 2037008. MR 0255439. doi:10.2307/2037008.
Procesi, Claudio (2013). On the theorem of Amitsur--Levitzki.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.