Цілком незв'язний простір

У топології цілком незв'язним простором називається топологічний простір, який не має нетривіальних зв'язаних підмножин. У будь-якому топологічному просторі порожня множина і одноточкові множини є зв'язаними. У цілком незв'язаному просторі вони є єдиними зв'язаними підмножинами.

Важливим прикладом цілком незв'язаного простору є множина Кантора. Іншим прикладом, що відіграє ключову роль в алгебричній теорії чисел, є поле p-адичних чисел .

Означення

Топологічний простір X називається цілком незв'язним, якщо усі його компоненти зв'язності X є одноточковими множинами.

Подібними є так звані цілком відокремлювані простори для яких всі квазікомпоненти є одноточковими множинами. Іншими словами для будь-яких двох точок простору існує відкрито-замкнута множина, що містить лише одну із двох точок (доповнення цієї множини буде відкрито-замкнутою множиною, що містить лише іншу точку).

Приклади

  • Дискретний простір
  • Множина раціональних чисел
  • Множина ірраціональних чисел
  • Множина p-адичних чисел.
    • Більш загально, цілком незв'язними є усі проскінченні групи
  • Множина Кантора
  • Простір Бера
  • Стрілка Зоргенфрея
  • Кожен цілком відокремлюваний простір є цілком незв'язним. Натомість нехай , де еквівалентність полягає у ідентифікації однакових елементів двою копій раціональних чисел за винятком нуля. Цей простір є цілком незв'язним але розглянувши дві копії нуля можна показати, що він не є навіть гаусдорфовим і тим більше не є цілком відокремлюваним.
  • нульвимірний гаусдорфів простір
  • Нульвимірні T1-простори
  • Екстремально незв'язний гаусдорфів простір
  • Простір Стоуна
  • Віяло Кнастера — Куратовского є прикладом зв'язного простору, який при видаленні лише однієї точки стає цілком незв'язним
  • Простір Ердоша ℓ2 є прикладом одновимірного цілком незв'язного простору.

Властивості

Конструювання незв'язного простору

Нехай — довільний топологічний простір. Нехай тоді і тільки тоді, коли (де позначає максимальну зв'язану підмножину, що містить ). Очевидно, відношення є відношенням еквівалентності, отже можна побудувати відповідний факторпростір Топологія на природним чином визначається топологією на а саме, відкритими підмножинами є ті множини класів еквівалентності, прообраз яких при відображенні факторизації є відкритим в

Простір є цілком незв'язним. Справді, позначимо — відображення факторизації і припустимо, що не є цілком незв'язним. Тобто існує компонента зв'язності що містить дві різні точки і . Як компонента зв'язності є замкнутою множиною, як і множина що містить компоненти і . Оскільки і є різними компонентами зв'язності, то не є зв'язаною множиною і тому існують дві відкриті непусті підмножини із пустим перетином для яких

Також , оскільки якщо тоді для деякого . Тобто і належать одній компоненті зв'язності . Оскільки і , то і .

Відповідно де , є непустими відкритими множинами із пустим перетином. Тобто не може бути зв'язаною множиною.

Також виконується універсальна властивість: якщо є неперервним відображенням у цілком незв'язний простір, то воно єдиним чином задається у вигляді де відображення є неперервним, а — відображення факторизації.

Література

  • Willard, Stephen (2004). General topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. MR 2048350.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.