P-група

Візьмемо деяку p-групу G (${\displaystyle |G|=p^{k}}$) і задамо дію групи G на множині G:

${\displaystyle ~\phi \colon G\times G\to G;\phi (g,x)=gxg^{-1}}$

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли цей елемент належить до центру групи:

${\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|=1\iff x\in Z(G)}$

Візьмемо довільний ${\displaystyle g\in G}$. Тоді:

${\displaystyle gxg^{-1}=x=gg^{-1}x\iff gxg^{-1}=gg^{-1}x\iff x\in Z(G)}$

Далі доведемо, що якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент то її порядок ділиться на p:

${\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|}$

Припустимо, що для ${\displaystyle x\in G}$ маємо ${\displaystyle |G(x)|>1}$. Оскільки стабілізатор ${\displaystyle G_{x}}$ є підгрупою G, то згідно з теоремою Лагранжа кількість його елементів ділить кількість елементів G , отже ${\displaystyle |G_{x}|=p^{l},l>0}$. Далі:

${\displaystyle |G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{l}}}=p^{k-l}}$

G є об'єднанням орбіт:

${\displaystyle G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x)}$

Звідси отримуємо:

${\displaystyle p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)|+\sum _{i=1}{s}p^{a_{i}}}$

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі a_i більше нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p}$ рівне 1: група ${\displaystyle C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{2}}$ рівно 2: групи ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ і ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{3}}$ рівне 5, з них три абелеві: ${\displaystyle C_{p^{3}}}$, ${\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}$, ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ і дві неабелеві: при ${\displaystyle p>2}$ — ${\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}$ і ${\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}$; при p = 2 — ${\displaystyle D_{8}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{4}}$ рівне 15 при ${\displaystyle p>2}$, число груп порядку ${\displaystyle 2^{4}}$ рівне 14.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{5}}$ рівне ${\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{5}}$ рівне 51, число груп порядку ${\displaystyle 3^{5}}$ рівне 67.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{6}}$ рівне ${\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{6}}$ рівне 267, число груп порядку ${\displaystyle 3^{6}}$ рівне 504.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{7}}$ рівне ${\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}$ при ${\displaystyle p>5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{7}}$ рівне 2328, число груп порядк ${\displaystyle 3^{7}}$ рівне 9310, число груп порядку ${\displaystyle 5^{7}}$ рівне 34297.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотично рівне ${\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}$.