Теореми Силова

Нехай ${\displaystyle G}$ — скінченна група, а ${\displaystyle p}$ — просте число, що ділить порядок ${\displaystyle G}$. Підгрупи порядку ${\displaystyle p^{t}}$ називаються ${\displaystyle p}$-підгрупами. Нехай маємо ${\displaystyle |G|=p^{n}s}$, де ${\displaystyle s}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$. Тоді ${\displaystyle p}$-підгрупою Силова називається підгрупа ${\displaystyle G}$, що має порядок ${\displaystyle p^{n}}$.

Нехай ${\displaystyle G}$ — скінченна група. Тоді:

• ${\displaystyle p}$-підгрупа Силова існує.
• Будь-яка ${\displaystyle p}$-підгрупа міститься в деякій ${\displaystyle p}$-підгрупі Силова. Всі ${\displaystyle p}$-підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді ${\displaystyle gPg^{-1}}$, де ${\displaystyle g}$ — елемент групи, а ${\displaystyle P}$ — підгрупа Силова із теореми 1).
• Кількість ${\displaystyle p}$-підгруп Силова рівне одиниці за модулем ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$ і ділить порядок ${\displaystyle G}$.

1. Спершу доведемо, що ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}\equiv m{\pmod {p}}}$

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

${\displaystyle (X+1)^{p^{r}}\equiv X^{p^{r}}+1^{p^{r}}=X^{p^{r}}+1{\pmod {p}}}$

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

${\displaystyle (X+1)^{p^{r}m}\equiv (X^{p^{r}}+1)^{m}{\pmod {p}}}$

В лівій частині коефіцієнт біля ${\displaystyle X^{p^{r}}}$ рівний ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}},}$ а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$ не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = p^km, і Ω позначає множину підмножин G потужності p^k. Тоді маємо:

${\displaystyle |\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}\mathrm {.} }$

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

${\displaystyle |\Omega |=\sum _{[o],\ o\in \Omega }|Go|\mathrm {.} }$

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

${\displaystyle [G:P]={\frac {|G|}{|P|}}={\frac {p^{r}m}{|P|}}}$

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно ${\displaystyle p^{r}||P|}$ і як наслідок p^r ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого ${\displaystyle x\in S}$ маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤p^r і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= p^r '

2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому ${\displaystyle \forall h\in H\quad hga=ga',\quad a,a'\in P}$, а значить, ${\displaystyle h=ga'a^{-1}g^{-1}\in gPg^{-1}}$, тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: N_G(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg^-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в N_G(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо ${\displaystyle N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

• P-група

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.