Досконалий степінь

Досконалий степінь — додатне ціле число , що є цілим степенем додатного цілого числа : . При число називається відповідно досконалим (повним) квадратом та досконалим кубом. Іноді числа 0 та 1 також вважаються досконалими степенями (оскільки і для будь-якого ).

Демонстрація паличками Кюїзенера природи досконалого степеня чисел 4, 8 і 9 .

Послідовність досконалих степенів можна сформувати перебором можливих значень для і ; перші кілька її членів (включно з повторюваними)[1]:

Перші досконалі степені без дублікатів такі:

(іноді 0 і 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Властивості

Сума обернених досконалих степенів (включно з дублікатами, такими як ) дорівнює 1:

,

що можна довести так:

.

Сума ряду обернених величин досконалих степенів (за винятком одиниці) без дублікатів дорівнює[2]:

,

де  функція Мебіуса, а  дзета-функція Рімана.

Згідно з Ейлером, в одному із загублених листів Гольдбах показав, що сума чисел, обернених до із послідовності досконалих степенів без одиниці і дублікатів дорівнює 1:

,

іноді це твердження називають теоремою Гольдбаха — Ейлера.

2002 року Преда Михейлеску довів, що єдина пара послідовних досконалих степенів — це , Тим самим довівши гіпотезу Каталана.

Невирішена проблема гіпотеза Піллаї, згідно з якою для будь-якого заданого додатного цілого числа існує тільки скінченне число пар досконалих степенів, різниця яких дорівнює .

Виявлення досконалих степенів

Виявити, чи є дане натуральне число досконалим степенем, можна багатьма способами різного рівня складності. Один із найпростіших способів — розглянути всі можливі значення для за кожним із дільників числа аж до . Якщо дільники рівні , то одне зі значень має дорівнювати , якщо дійсно є досконалим степенем.

Цей метод можна відразу спростити, натомість розглядаючи тільки прості значення , оскільки для складеного , де  — просте число, можна переписати як . Звідси випливає, що мінімальне значення обов'язково має бути простим.

Якщо відома повна факторизація , наприклад, , де  — різні прості числа, то  — досконалий степінь тоді і тільки тоді, коли ( найбільший спільний дільник). Наприклад, для : оскільки ,  — це досконалий 12-й степінь (та досконалий 6-й степінь, 4-й степінь, куб та квадрат, оскільки 6, 4, 3 і 2 є дільниками 12).

Примітки

  1. послідовність A072103 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  2. Ерік Вайсстайн Досконалий степінь(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.