Евклідова топологія дійсної прямої

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$ . Її стандартну базу складають інтервали $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$ , $a,b\in \mathbb {R}$ , $a<b$ . [1]

Властивості

Евклідова топологія на $\mathbb {R}$ породжена евклідовою метрикою $d(x,y)=|x-y|$ на $\mathbb {R}$ , де $|x|$ означає абсолютне значення (модуль) дійсного числа $x$ . Таким чином, метричний простір $\mathbb {R}$ задовольняє всі аксіоми відокремлюваності. Крім того, $\mathbb {R}$ є повним метричним простором другої категорії.

$\mathbb {R}$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки множини вигляду $(a,b)$ , де $a$ і $b$ раціональні, є зліченною базою $\mathbb {R}$ . Тому $\mathbb {R}$ задовольняє першу аксіому зліченності, є ліндельофовим і сепарабельним. Множина раціональних чисел є зліченною скрізь щільною в $\mathbb {R}$ множиною.

$\mathbb {R}$ не є зліченно компактним простором, бо відкриті інтервали $(n,n+2)$ для всіх цілих n покривають $\mathbb {R}$ , але жодна їх скінченна сукупність не є покриттям $\mathbb {R}$ . Але $\mathbb {R}$ локально компактний і σ-компактний, оскільки відрізки $[a,b]$ , $a,b\in \mathbb {R}$ , $a<b$ , компактні.

Будь-яка замкнена в $\mathbb {R}$ множина $A$ є $G_{\sigma }$ -множиною, оскільки $A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ , де $A_{n}$ — окіл множини $A$ радіусу $1/n$ , $n\in \mathbb {N}$ , тобто $A_{n}=\bigcup _{x\in A}B(x,1/n)$ . Кожна точка, що не належить $A$ , міститься в ε-околі, який не перетинається з $A$ , і таким чином не перетинається з деяким $A_{n}$ .

Будь-яке відкрите покриття $\mathbb {R}$ покриває кожен компактний відрізок $[n,n+1]$ , $n\in \mathbb {Z}$ , тому відкрите покриття може бути зменшене до послідовності скінченних підпокриттів ${G_{i}^{n}}$ кожного відрізка $[n,n+1]$ . Тоді множини ${G_{i}^{n}}\cap (n-1,n+2)$ утворюють локально скінченне покриття, вписане в початкове відкрите покриття. Таким чином, $\mathbb {R}$ паракомпактний.

Топологія на $\mathbb {R}$ також може бути задана квазіметрикою $d(x,y)=y-x$ , коли $y\geqslant x$ , і $d(x,y)=2(x-y)$ , коли $y<x$ .

Набір множин $S_{ab}=\{(x,y)|x,y<b$ чи $x,y>a\}$ , де $a,b\in \mathbb {R}$ і $a<b$ , є передбазою рівномірності $U$ , породженої природною топологією на $\mathbb {R}$ , але $U$ не є звичайною метричною рівномірністю.

Евклідів $n$ -вимірний простір $\mathbb {R} ^{n}$ визначається як добуток n копій $\mathbb {R}$ . Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії $\mathbb {R}$ . Еквівалентна база складається з відкритих $n$ -вимірних куль відносно евклідової метрики $d(x,y)=(\Sigma \ (x_{i}-y_{i})^{2})^{\frac {1}{2}}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ .

Література

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.