Змішана модель

У матричному вигляді змішана модель має вигляд:

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta }}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}}$

де

• ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ — це відомий вектор спостережень, із середнім значенням: ${\displaystyle E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}}$;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ — це невідомий вектор фіксованих ефектів ;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ — це невідомий вектор випадкових ефектів, із середнім значенням ${\displaystyle E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}}$ та коваріаційною матрицею ${\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G}$;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ це невідомий вектор випадкових помилок, із середнім значенням ${\displaystyle E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}$ і ${\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R}$;
• ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Z}$ є відомими матричними моделями, що стосуються спостережень ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ до ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$, відповідно.

Сумарна густина ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ має вигляд: ${\displaystyle f({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {u}})\,f({\boldsymbol {u}})}$. Припустимо, що ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},G)}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},R)}$ і ${\displaystyle Cov({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}$, тоді максимізація сумарної густини ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ дає рівняння змішаної моделі Хендерсона:[1][2][3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X'R^{-1}X&X'R^{-1}Z\\Z'R^{-1}X&Z'R^{-1}Z+G^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}\\{\hat {\boldsymbol {u}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\\Z'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\end{pmatrix}}}$

Розв'язки цього рівняння ${\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ і ${\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ є найкращими лінійними оцінками для ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ відповідно, що є наслідком з теореми Гаусса — Маркова.

• Модель фіксованих ефектів
• Узагальнені лінійні змішані моделі
• Лінійна регресія
• Багаторівнева модель
• Модель випадкових ефектів

• Gałecki, Andrzej; Burzykowski, Tomasz (2013). Linear Mixed-Effects Models Using R: A Step-by-Step Approach. New York: Springer. ISBN 978-1-4614-3900-4.
• Milliken, G. A.; Johnson, D. E. (1992). Analysis of Messy Data: Vol. I. Designed Experiments. New York: Chapman & Hall.
• West, B. T.; Welch, K. B.; Galecki, A. T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software. New York: Chapman & Hall/CRC.