Регресія Пуассона

Якщо ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ є вектором незалежних змінних, то модель приймає форму

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,}$

де ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}}$.Також цю формулу можна записати як

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,}$

де x є (n+1) розмірний вектор, який складається з n незалежних змінних, об'єднаних у вектор одиниць.

Тут θ — це ${\displaystyle \alpha \cup \beta }$.

Таким чином, при заданій регресійній моделі Пуассона θ та вхідному векторі x, передбачуваний середній асоційований розподіл Пуассона, який дано через

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }.\,}$

Якщо Y_i є незалежним спостереженням з відповідними значеннями x_i змінних предиктора, то θ можна оцінити за максимальною оцінкою правдоподібності. У максимальній оцінці правдоподібності відсутній вираз із замкнутою формою.