Кільце Круля

Кільце Круля — комутативна область цілісності R, для якої виконуються умови. Якщо $P$ множина простих ідеалів висота яких рівна одиниці то:

$R_{\mathfrak {p}}$ є кільцем дискретного нормування для всіх ${\mathfrak {p}}\in P$ ,
Кожен ненульовий головний ідеал є перетином скінченної кількості примарних ідеалів висоти один.

Кільця Круля були розглянуті Вольфгангом Крулем під назвою кілець скінченного дискретного головного порядку[1]. Вони є найприроднішим класом кілець, в яких існує теорія дивізорів.

Приклади

Будь-яке цілозамкнуте кільце Нетер, зокрема кільце Дедекінда, є кільцем Круля.
$\ R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ кільце многочленів від нескінченної кількості змінних є прикладом кільця Круля, що не є нетеровим.
Будь-яке факторіальне кільце є кільцем Круля. Для того, щоб кільце Круля було факторіальним, необхідно і достатньо, щоб будь-який його простий ідеал висоти 1 був головним.

Властивості

Кільце Круля є цілком цілозамкнутим.
Клас кілець Круля замкнутий щодо операцій локалізації, переходу до кільця многочленів або формальних степеневих рядів, а також цілого замикання в скінченному розширенні поля часток.

Примітки

W. Krull, "Allgemeine Bewertungstheorie" J. Reine Angew. Math. , 167 (1931) pp. 160–196

Література

Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707.(рос.)
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] W. Krull, "Allgemeine Bewertungstheorie" J. Reine Angew. Math. , 167 (1931) pp. 160–196