Кільце дискретного нормування

Кільце дискретного нормування  — це цілісне кільце R, яке задовольняє наступним еквівалентним умовам, кожну з яких можна прийняти за визначення кільця:

1. R  — локальне кільце головних ідеалів, яка не є полем.
2. R  — локальне кільце Дедекінда, яке не є полем.
3. R  — локальне кільце Нетер, розмірність Круля якого дорівнює одиниці, а єдиний максимальний ідеал  — головний.
4. R  — Цілозамкнуте одновимірне локальне нетерове кільце.
5. R  — кільце головних ідеалів з єдиним ненульовим простим ідеалом.
6. R  — факторіальне кільце з єдиним незвідним елементом (з точністю до множення на оборотні елементи кільця).
7. R не є полем і кожен його ненульовий дробовий ідеал є незвідним, тобто не може бути записаний як перетин скінченної кількості дробових ідеалів, що містять цей ідеал і не рівні йому.
8. Існує дискретне нормування поля часток кільця R, таке що R збігається з множиною елементів з невід'ємною нормою.

• Позначимо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\nmid \;2\}.}$ Поле часток цього кільця  — множина раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Розкладемо чисельник і знаменник довільного раціонального ${\displaystyle r}$ на прості числа і запишемо його у вигляді ${\displaystyle 2^{k}p/q}$ з непарними ${\displaystyle p,q}$ і визначимо ${\displaystyle v(r)=k.}$ Тоді ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$  — кільце дискретного нормування, що відповідає ${\displaystyle v}$. Зауважимо, що ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$  — локалізація дедекіндового кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ по простому ідеалу ${\displaystyle (2)}$. Виявляється, що локалізація будь-якого дедекіндового кільця по ненульовому простому ідеалу  — кільце дискретного нормування.
• У ролі більш геометричного прикладу візьмемо кільце раціональних функцій, знаменник яких не дорівнює нулю в точці 0, тобто функцій, які визначені в деякому околі нуля. Такі функції утворюють кільце дискретного нормування, єдиний незвідний елемент якого  — функція ${\displaystyle x}$ (з точністю до множення на оборотні елементи), а відповідне нормування раціональних функцій  — порядок нуля (можливо, нульовий або від'ємний) цієї функції в нулі. Цей приклад є стандартним для вивчення алгебраїчних кривих в неособливій точці; в даному випадку, алгебраїчна крива  — дійсна вісь.
• Інший важливий приклад  — кільце формальних степеневих рядів; тут незвідним елементом є ряд ${\displaystyle x}$, а нормування  — степінь першого ненульового коефіцієнта. Якщо обмежитися дійсними або комплексними коефіцієнтами, можна розглянути ряди, що збігаються в деякому околі нуля  — це як і раніше кільце дискретного нормування.
• Кільце p-адичних цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Будь-яке кільце дискретного нормування природним чином є топологічним кільцем, відстань між елементами x і y задається наступним чином:

${\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}$

(Замість 2 можна взяти будь-яке дійсне число > 1). Інтуїтивно, елемент малий (близький до нуля), якщо його норма велика.

Кільце дискретного нормування є компактним тоді і тільки тоді, коли воно є повним і поле лишків R/m ( m  — максимальний ідеал) є скінченним. Компактне кільце або є ізоморфним кільцю ${\displaystyle k[[T]]}$ формальних степеневих рядів над скінченним полем k або є скінченним розширенням кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Якщо ${\displaystyle A\subset B}$  — кільця дискретного нормування з відповідними елементами ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle \Pi }$, то ${\displaystyle \pi =u\Pi ^{e}}$, де u  — оборотний елемент в В. Ціле число ${\displaystyle e=e(B/A)}$ називається індексом розгалуження розширення ${\displaystyle A\subset B}$, а

${\displaystyle [B/\Pi B:A/\pi A]=f(B/A)}$

називається степенем лишків.

Така ситуація виникає, коли розглядають ціле замикання B кільця дискретного нормування A з полем часток K в скінченному розширенні L поля K. У цьому випадку B є напівлокальним кільцем головних ідеалів, і якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},...,{\mathfrak {p}}_{s}}$  — його максимальні ідеали, то ${\displaystyle B_{i}=B_{{\mathfrak {p}}_{i}}}$ є кільцями дискретного нормування. Якщо припустити, що L  — сепарабельне розширення K степеня n, то справедливою є формула:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}e(B_{i}/A)f(B_{i}/A)=n.}$

Якщо L/K є розширенням Галуа, то всі ${\displaystyle e(B_{i}/A)}$ і всі ${\displaystyle f(B_{i}/A}$) рівні між собою, і ${\displaystyle n=sef}$.

Якщо ж A  — повне кільця дискретного нормування, то також В буде кільцем дискретного нормування, і ${\displaystyle e(B/A)f(B/A)=n.}$ У цих припущеннях розширення ${\displaystyle A\subset B}$ (а також L над K) називається нерозгалуженим розширенням, якщо ${\displaystyle e(B/A)=1}$, а поле ${\displaystyle B/{\mathfrak {p}}}$ є сепарабельним над ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$; слабо розгалуженим, якщо ${\displaystyle e(B/A)}$ є взаємно простим з характеристикою поля ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$, а ${\displaystyle B/{\mathfrak {p}}}$ є сепарабельним над ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$; цілком розгалуженим, якщо ${\displaystyle f(B/A)=1}$.

Теорія модулів над кільцями дискретного нормування має велику схожість з теорією абелевих груп.

• Будь-який скінченнопороджений модуль є прямою сумою циклічних модулів;
• Модуль без кручень є плоским модулем;
• Довільний проективний модуль або підмодуль вільного модуля є вільним модулем. Однак прямий добуток нескінченного числа вільних модулів не обов'язково є вільним.
• Модуль без кручень зліченного рангу над повним кільцем дискретного нормування є прямою сумою модулів рангу 1.

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Discretely-normed_ring. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.