Множина Жуліа

Нехай ${\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$ — раціональне відображення. Множина Фату складається з точок ${\displaystyle z}$, таких, що в обмеженні на досить малий окіл ${\displaystyle z}$ послідовність ітерацій

${\displaystyle (f^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

утворює нормальну родину в сенсі Монтеля. Множина Жуліа — доповнення до множини Фату.

Це визначення допускає таке еквівалентне переформулювання: множина Фату це множина тих точок, орбіти яких стійкі за Ляпуновим. (Еквівалентність переформулювання неочевидна, але вона випливає з теореми Монтеля.)

• Як випливає з визначень, множина Жуліа завжди замкнута, а множина Фату — відкрита.
• Множина Жуліа для відображення степеня, більшого ніж 1, завжди непорожня (інакше можна було б вибрати рівномірно збіжну підпослідовність з ітерацій). Стосовно ж множини Фату аналогічне твердження неправильне: існують приклади, в яких множина Жуліа виявляється всією сферою Рімана. Такий приклад можна побудувати, взявши відображення ${\displaystyle z\mapsto 2z(mod\,\mathbb {Z} [i])}$ подвоєння на торі ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]}$ (динаміка якого, очевидно, скрізь хаотична) і пропустивши його через ${\displaystyle \wp }$-функцію Веєрштрасса ${\displaystyle \wp$ :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1}} .
• Множина Жуліа є замиканням об'єднання всіх відштовхувальних періодичних орбіт.
• Множини Фату і Жуліа обидві повністю інваріантні під дією f, тобто збігаються як зі своїм образом, так і з повним прообразом:

${\displaystyle \ f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f),}$

${\displaystyle \ f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f).}$

• Множина Жуліа ${\displaystyle J(f)}$ є межею (повного) басейну тяжіння будь-якої притягальної або суперпритягальної орбіти; окремим випадком цього є твердження, що ${\displaystyle J(f)}$ це межа заповненої множини Жуліа (оскільки для поліноміального відображення нескінченність — суперпритягальна нерухома точка, а заповнена множина Жуліа є доповнення до її басейну тяжіння). Крім того, взявши полиноміальне відображення з трьома різними притягальними нерухомими точками, отримуємо приклад трьох відкритих (природно, незв'язних) множин на площині зі спільною межею.
• Якщо відкрита множина ${\displaystyle U}$ перетинає множину Жуліа, то, починаючи з деякого досить великого n, образ ${\displaystyle f^{n}(U\cap J)=f^{n}(U)\cap J}$ збігається з усією множиною Жуліа ${\displaystyle J}$. Іншими словами, ітерації розтягують як завгодно маленький окіл у множині Жуліа на всю множину Жуліа.
• Оскільки зазначене вище розтягнення найчастіше відбувається досить швидко, голоморфні відображення конформні, а множина Жуліа інваріантна щодо динаміки — вона виявляється такою, що має фрактальну структуру: її маленькі частини схожі на великі.
• Якщо множина Жуліа відмінна від усієї сфери Рімана, то вона не має внутрішніх точок.
• Для всіх точок z сфери Рімана, крім, можливо, двох, множина граничних точок послідовності повних прообразів ${\displaystyle f^{-n}(z)}$ є множиною Жуліа. Ця властивість застосовується в комп'ютерних алгоритмах побудови множини Жуліа.
• Теорема Саллівана стверджує, що будь-яка компонента зв'язності множини Фату передперіодична. Своєю чергою теорема про класифікацію періодичних компонент множини Фату стверджує, що періодичні компоненти бувають одного з чотирьох типів: басейн тяжіння притягальної або суперпритягальної нерухомої або періодичної точки, пелюстка Фату параболічної точки, диск Зигеля і кільце Ермана.

Квадратичне відображення ${\displaystyle z\mapsto P_{2}(z)}$ заміною координат завжди зводиться до вигляду ${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$. Виявляється, що множина Жуліа буде зв'язною тоді і тільки тоді, коли критична точка ${\displaystyle z=0}$ (або, що те ж саме, її образ ${\displaystyle z=c}$) не йде у нескінченність. У разі, якщо ітерації 0 прямують до нескінченності, множина Жуліа (яка збігається, в цьому випадку, з заповненою множиною Жуліа) виявляється гомеоморфною канторовій множині й має міру нуль. У цьому випадку її називають пилом Фату (попри назву, яка збиває з пантелику, це саме множина Жуліа — множина хаотичної динаміки).

Множина параметрів c, при яких множина Жуліа квадратичної динаміки зв'язна, називається множиною Мандельброта. Вона також має фрактальну структуру (і є, ймовірно, одним з найбільш знаменитих фракталів).

Математики довели, що довільна замкнена фігура на площині може бути як завгодно близько наближена множиною Жуліа для відповідного многочлена. Серед іншого, як демонстрацію власної техніки, ученим вдалося побудувати досить хороше наближення силуету кота. За словами вчених, їхній приклад наочно демонструє, що динаміка поліноміальних (тобто задаваних многочленами) динамічних систем може бути влаштована максимально різноманітно. Вони кажуть, що запропонований ними приклад буде корисний у теорії таких систем[2]

• Множина Мандельброта

• Мілнор, Дж. Голоморфна динаміка. Ввідні лекції. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures.  — Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000.  — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4. (рос.)
• Проста програма для генерування множин Жуліа (Windows, 370 кБ) (англ.)
• Множини Мандельброта та Жуліа на сайті FractalWorld ^{[недоступне посилання]}