Множина Сміта — Вольтерри — Кантора

Аналогічно побудові множини Кантора, множина Сміта — Вольтерри — Кантора будується шляхом видалення певних інтервалів з одиничного інтервалу ${\displaystyle [0,1]}$.

Процес починається з видалення відкритого інтервалу довжини ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ із середини ${\displaystyle [0,1]}$, після чого одержується множина:

${\displaystyle [0,1]\setminus \left]{\frac {3}{8}},{\frac {5}{8}}\right[=\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].}$.

Під час наступних кроків видаляються підінтервали довжини ${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}})^{n}}$ із середини кожного із ${\displaystyle 2^{n-1}}$ інтервалів, що залишилися після попереднього кроку. Зокрема на другому кроці видаляються інтервали ${\displaystyle ({\tfrac {5}{32}},{\tfrac {7}{32}})}$ та ${\displaystyle ({\tfrac {25}{32}},{\tfrac {27}{32}})}$, залишаючи:

${\displaystyle \left(\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\setminus \left]{\frac {5}{32}},{\frac {7}{32}}\right[\right)\cup \left(\left[{\frac {5}{8}},1\right]\setminus \left]{\frac {25}{32}},{\frac {27}{32}}\right[\right)=\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].}$

Формально якщо позначити ${\displaystyle S_{0}=[0,1]}$ і множину після n-1 кроків як:

${\displaystyle S_{n-1}=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}[a_{k},b_{k}]}$

де:

${\displaystyle 0=a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\dots <a_{2^{n-1}}<b_{2^{n-1}}=1,}$

то після n-го кроку одержується множина:

${\displaystyle S_{n}:=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}\left(\left[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}-{\frac {1}{2^{2n+1}}}\right]\cup \left[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}+{\frac {1}{2^{2n+1}}},b_{k}\right]\right)}$.

Результати перших п'яти ітерацій цього процесу зображені на малюнку:

Елементами множини Сміта — Вольтерри — Кантора є точки, що ніколи не вилучаються під час цього процесу, тобто належать усім ${\displaystyle S_{n}.}$ Іншими словами множина є рівною перетину ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }S_{n}}$.

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора є перетином замкнутих множин ${\displaystyle S_{n}}$, а тому і сама є замкнутою множиною. Окрім того вона не містить інтервалів, а тому має порожню внутрішність, тобто є ніде не щільною множиною. Справді кожна множина ${\displaystyle S_{n}}$ є диз'юнктним об'єднанням ${\displaystyle 2^{n}}$ замкнутих інтервалів довжина кожного із яких є меншою ${\displaystyle {1 \over 2^{n}}}$. Відповідно для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ для тих n для яких ${\displaystyle {1 \over 2^{n}}<\varepsilon }$ множина ${\displaystyle S_{n}}$ не може містити жодного відкритого інтервалу довжини ${\displaystyle \varepsilon .}$ Оскільки ${\displaystyle \varepsilon }$ є довільним, а множина Сміта — Вольтерри — Кантора є підмножиною будь-якої ${\displaystyle S_{n}}$, то вона не може містити відкритого інтервалу будь-якої довжини.

Кожна наступна ітерація в побудові множини видаляє пропорційно менше з інтервалів, що залишилися. Цей процес відрізняється від побудови множини Кантора , де пропорція частини, що видаляється, на кожному інтервалі залишається постійною. Тому множина Сміта — Вольтерри — Кантора має додатну міру, тоді як множина Кантора має міру нуль.

Детальніше, протягом процесу побудови множини з відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ на n-му кроці видаляються ${\displaystyle 2^{n-1}}$ інтервалів, довжина кожного із яких є рівною ${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}})^{n}.}$ Відповідно видаляються відрізки сумарною довжиною ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})^{n+1}.}$ Загалом множина усіх точок, що видаляються на якомусь кроці процесу є диз'юнктним об'єднанням зліченної кількості інтервалів. Відповідно вона, а також множина Сміта — Вольтерри — Кантора, яка є її доповненням є борелівськими множинами і для них існує міра Лебега. Зокрема із порахованої вище міри множини, що видаляється на кожному кроці і зліченної адитивності міри, загальна міра множини, що видаляється є рівною:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}$.

Відповідно і для її доповнення, тобто множини Сміта — Вольтерри — Кантора міра Лебега є рівною ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

Також множина Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом компактної множини, для якої міра Жордана є невизначеною. Внутрішня міра Жордана є рівною 0, адже множина не містить інтервалів. Зовнішня є рівною ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ оскільки усі ${\displaystyle S_{n}}$ є покриттями скінченними кількостями інтервалів, сумарна довжина інтервалів для різних ${\displaystyle S_{n}}$ прямує зверху до ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ і усі покриття множини Сміта — Вольтерри — Кантора скінченною кількістю замкнутих інтервалів містять зрештою якусь із ${\displaystyle S_{n}}$.

Відповідно характеристична функція множини Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом обмеженої функції, що не інтегрується за Ріманом на відрізку ${\displaystyle (0,1)}$ але для якої існує інтеграл Лебега (рівний ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$).

У загальному випадку можна видалити ${\displaystyle r_{b}}$ з кожного підінтервалу на ${\displaystyle n}$-му кроці алгоритму. Одержана множина буде мати додатну міру тоді і тільки тоді, коли сума послідовності менша за міру вихідного інтервалу. Якщо припустити, що на кожній ${\displaystyle n}$-ій ітерації видаляється середина інтервалу довжини ${\displaystyle (a)^{n}}$, де ${\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}}$ (для ${\displaystyle a>{\dfrac {1}{3}}}$ побудова є неможливою), міра Лебега множини точок, що не видаляються є рівною:

${\displaystyle 1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}=1-a{\dfrac {1}{1-2a}}={\dfrac {1-3a}{1-2a}}}$.

Таким чином, множина буде мати додатну міру якщо ${\displaystyle a<{\dfrac {1}{3}}.}$

Прямий добуток множин Сміта — Вольтерри — Кантора може бути використаний для побудови цілком незв'язних множин нульової міри у просторах більш високих розмірностей. Застосовуючи теорему Данжуа — Ріса до двовимірних множин цього типу можна знайти жорданову криву, що має додатну площу.

• Міра Жордана
• Міра Лебега
• Множина Кантора

• Bressoud, David Marius (2003). Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function
• Smith, Henry J.S. (1874). "On the integration of discontinuous functions". Proceedings of the London Mathematical Society. First series. 6: 140–153