Статистика Максвелла — Больцмана

Із загального розподілу Ґіббса. Розглянемо систему частинок, що знаходиться в однорідному полі. В такому полі кожна молекула ідеального газу має повну енергією

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z)}$, де

${\displaystyle \varepsilon _{kin}}$ — кінетична енергія її поступального руху, а ${\displaystyle ~u}$ — потенційна енергія в зовнішньому полі, яка залежить від її положення.

Підставимо цей вираз для енергії у розподіл Ґіббса для молекули ідеального газу ${\displaystyle \left(\mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}\right)}$ (де ${\displaystyle ~\mathrm {d} w}$ — ймовірність того, що частка перебуває в стані зі значеннями координат ${\displaystyle ~q}$ і імпульсів ${\displaystyle ~p}$, в інтервалі ${\displaystyle ~\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$)

маємо:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$,

де статистичний інтеграл рівний:

${\displaystyle z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}}$

інтегрування ведеться по всіх можливих значень змінних. Далі статистичний інтеграл можна написати у вигляді:

${\displaystyle z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V}$,

ми знаходимо, що нормоване на одиницю розподіл Ґіббса для молекули газу при наявності зовнішнього поля має вигляд:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\qquad \qquad (1)}$.

Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, носить назву розподіл Максвелла — Больцмана.

При розгляді розподілу Максвелла — Больцмана, кидається в очі важлива властивість — його можна представити як добуток двох множників:

${\displaystyle \mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\right]\qquad \qquad (2)}$.

Перший множник є не що інше, як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей по імпульсах. Другий множник залежить лише від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки в обсязі dV.

Згідно з теорією ймовірностей, розподіл Максвелла — Больцмана можна розглядати як добуток ймовірностей двох незалежних подій — ймовірність даного значення імпульсу та даного положення молекули. Перша з них:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}}$

представляє розподіл Максвелла, друга ймовірність:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}}$

— розподіл Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.

• Статистика Фермі—Дірака
• Розподіл Больцмана
• Статистика Бозе—Ейнштейна
• Розподіл Ґіббса

• Елементи фізики твердого тіла^{[недоступне посилання з червня 2019]}