Модель Дебая
У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску до теплоємності твердого тіла. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної ґратки як газ квазічастинок (фононів) у ящику, на відміну від моделі Ейнштейна, яка інтерпретує тверде тіло як набір багатьох окремих невзаємодіючих квантових гармонічних осциляторів). Ця модель точніше передбачає залежність теплоємності за низьких температур як такої, що пропорційна — так званий закон Дебая. У граничному випадку високих температур величина теплоємності за моделлю Дебая збігається з результатом моделі Ейнштейна, прямуючи до , відповідно до закону Дюлонга — Пті. Однак за проміжних температур точність моделі Дебая зменшується внаслідок її певних спрощувальних припущень.
Статистична фізика |
---|
Термодинаміка Кінетична теорія |
Статистики Максвелла — Больцмана · Бозе — Ейнштейна · Фермі — Дірака · Парастатистика · Еніонна статистика · Статистика кіс |
Ансамблі |
Моделі |
Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая
У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:
n1·λx/2=a; (1)
n2·λy/2=b; (2)
n3·λz/2=c; (3)
(n1, n2, n3 — цілі числа)
Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки
K=2π/λ, (4)
то
Kx=2π/λx=π·n1/a; (5)
Ky=2π/λy=π·n2/b; (6)
Kz=2π/λz=π·n3/c (7)
Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом
τ=∆Kx·∆Ky·∆Kz=, (8)
де
∆Kx=π/a; (9)
∆Ky=π/b; (10)
∆Kz=π/c (11)
В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом
dVk=4πK2dK/8=πK2dK/2 (12)
В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює
dNk=dVk/τ= (13)
Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну поздовжню. При цьому
K||=ω/v||, (14)
K⊥=ω/v⊥ (15)
Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла . Для цього обчислимо кількість коливань, що відповідають поздовжнім і поперечним хвилям.
(16)
(17)
(18)
(19)
Тому дорівнює
(20)
де <є> — середня енергія квантового осцилятора (див. Модель теплоємності Ейнштейна).
Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти . Визначимо граничну частоту з умови:
(21)
(22)
Звідси:
(23)
Кв — постійна Больцмана.
Na — число Авогадро.
В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:
; (24)
; (25)
; (26)
(27)
Тепер для UM отримуємо
(28)
Нарешті для молярної теплоємності отримуємо
C=dUM/dT=3R (29)
Легко перевірити, що за умови T→∞
C→3R, (30)
а за умови T→0
C→~T3 (31)
Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.
Інтеграл Бозе-Ейнштейна
Обчислимо для повноти викладу визначений інтеграл
(32)
Позначимо
(33)
Можна показати, що
(34)
Аналогічно
(35)
При збільшенні кількості доданків до нескінченності отримуємо
(36)
Знайдемо суму ряду з використанням теореми Парсеваля. Для цього розкладемо функцію
(37)
в ряд Фур'є на інтервалі . Коефіцієнти розкладу дорівнюють
(38)
(39)
Таким чином
(40)
і
(41)
Згідно теореми Парсеваля
(42)
Спрощуючи останній вираз, отримуємо остаточно
(43)
Література
- Погорєлов В. Є., Слободянюк О. В., Єщенко О. А., Конділенко О. І., Шутов Б. М. Фізичний практикум (Частина II. Молекулярна Фізика). — К. : ВПЦ "Київський університет", 2004. — 120 с.
- Пінкевич І. П., Сугаков В. Й. Теорія твердого тіла. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2006. — 333 с.
- Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
- Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М. : Наука, 1978. — 792 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.