Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є функції ${\displaystyle f(t)\,}$ математично визначається як комплексна функція ${\displaystyle F(\omega )\,}$, яка задається інтегралом

${\displaystyle F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =f(t)}$

У перших кадрах анімації, функція f розкладена у ряд Фур'є: лінійну комбінацію синусів і косинусів (синім). Частотні компоненти цих синусів і косинусів розподілені у частотному спектрі представлені як вертикальні піки у частотній області (фактично це Дельта-функції Дірака, що показані в останніх кадрах анімації). Представлення функції у частотній області f̂ є множиною цих піків із частотами, що показані в розмірності функції.

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення Рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності[1].

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e^2πiθ = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e^2πiθ. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e^2πiθ і e^−2πiθ обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T2, T2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду c_n задається як:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\,e^{-2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}\,dx.}$

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}{\hat {f}}\left({\frac {n}{T}}\right)}$

оскільки f (x) є нульовою за межами [−T2, T2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1T, помножені на ширину сітки 1T.

При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi _{n})\ e^{2\pi i\xi _{n}x}\Delta \xi ,}$

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξ_n = nT, і Δξ = n + 1T − nT = 1T.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним[2].

При вивченні рядів Фур'є числа c_n можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Якщо задані інтегровні функції ${\displaystyle f(t)}$, ${\displaystyle g(t)}$ та ${\displaystyle h(t)}$ та їхні відповідні перетворення Фур'є ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}$, ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )}$ та ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )}$, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$, якщо ${\displaystyle h(t)=af(t)+bg(t)}$, тоді   ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )=a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega ).}$

Трансляція

Для довільного дійсного числа ${\displaystyle t_{0}}$, якщо ${\displaystyle h(t)=f(t-t0)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )=e^{-i\omega t_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$

Модуляція

Для довільного дійсного числа ${\displaystyle \omega _{0}}$, якщо ${\displaystyle h(t)=e^{\omega _{0}t}f(t)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\omega _{0})}$.

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо ${\displaystyle h(x)=f(ax)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)}$.     Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо ${\displaystyle h(x)=f(-x)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )}$.

Спряження

Якщо ${\displaystyle h(x)={\overline {f(x)}}}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.}$

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»   ${\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.}$

Згортка

Якщо ${\displaystyle h(x)=\left(f*g\right)(x)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$ спряжений простір до ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$. Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$, яка діє на основні функції за правилом

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta (\omega ),\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot e^{-i\cdot 0\cdot x}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle 1,\;\varphi \right\rangle .}$

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку ${\displaystyle 1}$.

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})}\,d\mathbf {x} }$

де ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ — ${\displaystyle n}$-вимірні вектори, а ${\displaystyle (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})}$ позначає скалярний добуток цих векторів.

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу ${\displaystyle f(t)}$ має вигляд

${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau }$,

де ${\displaystyle \alpha (\tau )}$ — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

${\displaystyle G(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ^{\prime })e^{i\omega ^{\prime }(t-\tau )}d\omega ^{\prime }d\tau dt}$

Оскільки

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(\omega ^{\prime }-\omega )t}dt=2\pi \delta (\omega ^{\prime }-\omega )}$,

де ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

${\displaystyle G(\omega )=\mathrm {A} (\omega )F(\omega )\,}$,

де

${\displaystyle \mathrm {A} (\omega )=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )e^{i\omega \tau }}$.

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи ${\displaystyle \mathrm {A} (\omega )}$.

У наступній таблиці ${\displaystyle F(\omega )}$ и ${\displaystyle G(\omega )}$ позначають перетворення Фур'є функцій ${\displaystyle f(t)}$ і ${\displaystyle g(t)}$, відповідно. Функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$.

	Функція	Образ	Примітки
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)\,}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )\,}$	Лінійність
2	${\displaystyle f(t-a)\,}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )\,}$	Запізнення
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)\,}$	${\displaystyle F(\omega -a)\,}$	Частотний зсув
4	${\displaystyle f(at)\,}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )\,}$	Перетворення Фур'є похідної
6	${\displaystyle t^{n}f(t)\,}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,}$
7	${\displaystyle (f*g)(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,}$	Перетворення згортки
8	${\displaystyle f(t)g(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	Зворотнє до 7
9	${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	Перетворення дельта-функції Дірака
10	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,}$	Зворотнє до 9
11	${\displaystyle t^{n}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,}$	Для ${\displaystyle n}$-ї узагальненої похідної дельта-функції
12	${\displaystyle e^{iat}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,}$	Наслідок з 3 і 10
13	${\displaystyle \cos(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,}$
14	${\displaystyle \sin(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,}$
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,}$	Образ функції Гауса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,}$	фільтр низьких частот
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	Тут ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\,}$ — функція знаку.
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,}$
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,}$	Тут ${\displaystyle \theta (t)\,}$ — Функція Гевісайда.

• Ряд Фур'є
• Змінні Фур'є
• Перетворення Лапласа
• Двостороннє перетворення Лапласа
• Швидке перетворення Фур'є
• Дискретне перетворення Фур'є
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Фур'є

↑  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти ${\displaystyle \omega }$ використовують лінійну частоту ${\displaystyle \nu }$, розподіляють множник ${\displaystyle 1/2\pi }$ порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

• До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
• Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

• Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.

• FFT in Python
• Fourier Series Applet
• An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform
• SETI@home (Search for ExtraTerrestrial Intelligence at home — Пошук позаземного розуму вдома
• «Преобразование Фурье» (рос.) — переклад статті An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained(англ.)