Практичне число

У початковому описі Шрінівасан[3] стверджує, що практичне число не може бути недостатнім числом, тобто числом, сума всіх дільників якого (включно з 1 і самим числом) менша від подвоєного числа, якщо не брати до уваги нестачу, що дорівнює одиниці. Якщо для практичного числа ${\displaystyle n}$ виписати впорядковану множину дільників ${\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}$, де ${\displaystyle d_{1}=1}$ і ${\displaystyle d_{j}=n}$, то твердження Шрінівасана можна виразити нерівністю

${\displaystyle 2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}}$.

Іншими словами, упорядкована послідовність всіх дільників ${\displaystyle {d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}}$ практичного числа повинна бути повною підпослідовністю.

Це визначення розширили і завершили Стюарт[4] і Серпінський[5], які показали, що визначення, чи є число практичним, визначається його розкладанням на прості дільники. Додатне ціле число, більше від 1 з розкладом ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ (з упорядкуванням простих дільників за зростанням ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$), є практичним тоді і тільки тоді, коли кожен його простий дільник ${\displaystyle p_{i}}$ досить малий, щоб ${\displaystyle p_{i}-1}$ мало подання у вигляді суми менших дільників. Щоб це виконувалось, перше просте число ${\displaystyle p_{1}}$ має дорівнювати 2, а для будь-якого i від 2 до k для кожного наступного простого числа ${\displaystyle p_{i}}$ має виконуватися нерівність

${\displaystyle p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

де ${\displaystyle \sigma (x)}$ означає суму дільників числа ${\displaystyle x}$. наприклад, ${\displaystyle 2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606}$ є практичним, оскільки нерівність виконується для кожного з простих дільників: ${\displaystyle 3\leqslant \sigma (2)+1=4,29\leqslant \sigma (2\times 3^{2})+1=40}$ і ${\displaystyle 823\leqslant \sigma (2\times 3^{2}\times 29)+1=1171}$.

Умова, наведена вище, є необхідною і достатньою. З одного боку, ця умова є необхідною, щоб можна було подати ${\displaystyle p_{i}-1}$ у вигляді суми дільників числа ${\displaystyle n}$, оскільки в разі порушення нерівності додавання всіх менших дільників дало б суму, занадто малу, щоб отримати ${\displaystyle p_{i}-1}$. З іншого боку, умова є достатньою, що можна отримати за індукцією. Більш строго, якщо розклад числа ${\displaystyle n}$ задовольняє наведеній вище умові, то будь-яке число ${\displaystyle m\leqslant \sigma (n)}$ можна подати у вигляді суми дільників числа ${\displaystyle n}$ після таких кроків[4][5]:

• нехай ${\displaystyle q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}}$, і нехай ${\displaystyle r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що ${\displaystyle q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ і ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$ є практичними, можна знайти подання q у вигляді суми дільників ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що ${\displaystyle r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})}$ і ${\displaystyle n/p_{k}}$ є практичними, то можна знайти подання r у вигляді суми дільників ${\displaystyle n/p_{k}}$.
• Подання у вигляді дільників r, разом з коефіцієнтом ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}$ для кожного дільника подання у вигляді дільників q, разом утворюють подання m у вигляді суми дільників n.

• Єдине непарне практичне число — 1, оскільки якщо n>2 є непарним числом, то 2 можна подати у вигляді суми різних дільників числа ${\displaystyle n}$. Шрінівасан[3] зауважив, що відмінні від 1 і 2 практичні числа діляться на 4 або 6 (або на обидва).
• Добуток двох практичних чисел є також практичним числом[7]. Сильніше твердження: найменше спільне кратне будь-яких двох практичних чисел, є також практичним числом. Еквівалентно, множина всіх практичних чисел замкнута відносно множення.
• З опису чисел Стюартом і Серпінським можна бачити, що в разі, коли ${\displaystyle n}$ є практичним числом, а ${\displaystyle d}$ є одним з його дільників, число n*d має бути також практичним числом.
• У множині всіх практичних чисел існує множина простих практичних чисел. Просте практичне число — це або практичне і вільне від квадратів число, або практичне, яке при діленні на будь-який його простий дільник, показник якого в розкладі більший від 1, перестає бути практичним. Послідовність простих практичних чисел (послідовність A267124 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) починається з

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460…

Кілька інших гідних уваги множин цілих чисел складаються виключно з практичних чисел:

• З властивостей, наведених вище, для практичного числа ${\displaystyle n}$ і одного з його дільників ${\displaystyle d}$ (тобто, ${\displaystyle d}$ | ${\displaystyle n}$) число ${\displaystyle n\cdot d}$ має також бути практичним, так що помноживши на 6 будь-який степінь числа 3 отримаємо практичне число, як і помноживши на 6 будь-який степінь числа 2.
• Будь-яка степінь двійки є практичним числом[3]. Степінь двійки тривіально задовольняє опису практичних чисел у термінах розкладання цілих чисел — всі прості числа в розкладі числа, p_1, дорівнюють двом, що й потрібно.
• Будь-яке парне досконале число є також практичним числом[3]. Це випливає з результату Ейлера, що парне досконале число мусить мати вигляд ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$. Непарна частина цього розкладу дорівнює сумі дільників парної частини, так що будь-який непарний простий дільник такого числа має бути не більшим від суми дільників парної частини числа. Таким чином, це число має задовольняти опису практичних чисел.
• Будь-який прайморіал (добуток перших i простих для деякого числа i) є практичним числом[3]. Для перших двох прайморіалов, двійки і шістки це ясно. Кожен наступний прайморіал утворюється множенням простого числа p_i на менший прайморіал, який ділиться як на двійку, так і на попереднє просте число ${\displaystyle p_{i-1}}$. Згідно з постулатом Бертрана ${\displaystyle p_{i}<2p_{i-1}}$, так що кожен попередній простий дільник прайморіала менший, ніж один з дільників попереднього прайморіала. За індукцією, з цього випливає, що будь-який прайморіал задовольняє опису практичних чисел. Оскільки прайморіал за визначенням вільний від квадратів, він також є простим практичним числом.
• Узагальнюючи прайморіали, будь-яке число, яке є добутком ненульових ступенів перших k простих чисел, має бути практичним. У цю множину потрапляють надскладені числа Рамануджана (числа з кількістю дільників, більшою від будь-якого меншого додатного числа), а також факторіали[3].

Якщо n є практичним, то будь-яке раціональне число вигляду m/n з m<n можна подати у вигляді суми ${\displaystyle \sum {\tfrac {d_{i}}{n}}}$, де всі d_i є різними дільниками числа n. Кожен член цієї суми зводиться до аліквотного дробу, так що така сума дає подання числа m/n у вигляді єгипетського дробу, наприклад,

${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$

Фібоначчі в своїй книзі 1202 року Liber Abaci[2] наводить деякі методи пошуку подання раціонального числа у вигляді єгипетського дробу. З них перший метод полягає в перевірці, чи не є число вже аліквотним дробом, а другий метод полягає в поданні чисельника у вигляді суми дільників знаменника, як описано вище. Цей метод гарантує успіх тільки в разі, коли знаменник є практичним числом. Фібоначчі навів таблиці таких поданнь для дробів, що мають знаменниками практичні числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 і 100.

Воуз[8] показав, що будь-яке число x/y має подання у вигляді єгипетського дробу з ${\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log y}})}$ членами. Доведення використовує пошук послідовності практичних чисел n_i зі властивістю, що будь-яке число, менше від n_i, можна записати у вигляді суми ${\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$ різних дільників числа n_i. Тоді i вибирається так, що ${\displaystyle n_{i-1}<y\leqslant n_{i}}$ і ${\displaystyle xn_{i}}$ ділиться на y, даючи частку q і остачу r. З цього вибору випливає, що ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$. Розклавши чисельники в правій частині формули на суму дільників числа n_i одержимо подання числа у вигляді єгипетського дробу. Тененбаум і Йокота[9] застосували подібну техніку, що використовує іншу послідовність практичних чисел, щоб показати, що будь-яке число ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому найбільший знаменник дорівнює ${\displaystyle \scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}})}$.

Згідно з гіпотезою Чжи Вей Суня (вересень 2015 року)[10], будь-яке додатне раціональне число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому будь-який знаменник є практичним числом. Існує доведення гіпотези в блозі Девіда Еппштейна[11].

Одна з причин інтересу до практичних чисел полягає в тому, що багатьма властивостями вони подібні до простих чисел. Більш того, теореми, аналогічні гіпотезі Гольдбаха і гіпотезі про числа-близнюки, відомі для практичних чисел — будь-яке додатне парне число є сумою двох практичних чисел і існує нескінченно багато трійок практичних чисел ${\displaystyle x-2,x,x+2}$ [12]. Джузеппе Мелфі показав також, що існує нескінченно багато практичних чисел Фібоначчі (послідовність A005153 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Аналогічне питання про існування нескінченного числа простих чисел Фібоначчі залишається відкритим. Гаусман і Шапіро[13] показали, що завжди існує практичне число в інтервалі ${\displaystyle [x_{2},(x+1)^{2}]}$ для будь-якого додатного дійсного x, що є аналогом гіпотези Лежандра для простих чисел.

Нехай ${\displaystyle p(x)}$ підраховує кількість практичних чисел, що не перевершують ${\displaystyle x}$. Маргенштерн[7] висловив гіпотезу, що ${\displaystyle p(x)}$ асимптотично дорівнює ${\displaystyle {\frac {cx}{\log x}}}$ для деякої сталої c, що нагадує формулу в теоремі про розподіл простих чисел і підсилює раніше твердження Ердеша і Локстона[14], що практичні числа мають щільність нуль у множині цілих чисел. Саєс[15] довів, що для відповідних констант c₁ і c₂

${\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}$

Нарешті, Вайнгартнер[16] довів гіпотезу Маргенштерна, показавши, що

${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),}$

для ${\displaystyle x\geqslant 3}$ і деякої константи ${\displaystyle c>0}$.

• Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi.
• Practical Number на PlanetMath.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Practical Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.