Розподіл Фішера

Розподіл Фішера
	Функція розподілу ймовірностей
Параметри	ступені свободи
Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє	для
Мода	для
Дисперсія	для
Коефіцієнт асиметрії	; для
Коефіцієнт ексцесу	див. текст
Твірна функція моментів (mgf)	не існує, raw moments defined elsewhere[1][2]
Характеристична функція	див. текст

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення

Нехай $Y_{1},Y_{2}$ — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: $Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})$ , де $d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2$ . Тоді розподіл випадкової величини

F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}

,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи $d_{1}$ і $d_{2}$ . Пишуть $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ .

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами $d_{1},d_{2}\ (F(d_{1},d_{2}))$ задається формулою:

f(x)={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!

для дійсного числа $x\geq 0$ , тут d₁ та d₂ цілі додатні числа, а B — Бета-функція.

Моменти

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

\mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}

, якщо

d_{2}>2

,

\mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!

, якщо

d_{2}>4

.

Властивості розподілу Фішера

Якщо $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то

{\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})

.

Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то

F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)

по розподілі при

d_{1},d_{2}\to \infty

,

де $\delta (x-1)$ — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи $X\equiv 1$ .

Зв'язок з іншими розподілами

Якщо $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то випадкові величини $d_{1}F_{d_{1},d_{2}}$ збігаються по розподілу до $\chi ^{2}(d_{1})$ при $d_{2}\to \infty$ .

Див. також

Розподіл хі-квадрат

Джерела

Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.(англ.)
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ред. (1965). Chapter. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 978-0486612720. MR 0167642. (англ.)

Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[johnson-1] Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.(англ.)

[abramowitz-2] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ред. (1965). Chapter. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 978-0486612720. MR 0167642. (англ.)