Супереліпс

Супереліпс (крива Ламе) — плоска крива, що у декартових координатах описується рівнянням:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

Супереліпси (криві Ламе)

де ${\displaystyle n>0}$;

${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — радіуси (півосі) супереліпса.

Для випадку n = 2 отримуємо еліпс (у частковому випадку, при a = b — коло), а при ${\displaystyle n=1}$ — ромб з діагоналями ${\displaystyle 2a}$ та ${\displaystyle 2b}$. Коли збільшувати ${\displaystyle n}$ до нескінченості, крива прямує за формою до прямокутника; натомість коли ${\displaystyle n}$ прямує до нуля, крива набуває хрестоподібної форми.

Фігури, що отримані для n < 2 ще називають «гіпоеліпс», а для n > 2 — «гіпереліпс».

Супереліпс може бути описаний парою рівнянь в параметричній формі:

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$

або

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|{\cos \theta }|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|{\sin \theta }|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

Площа супереліпса виражається формулою

${\displaystyle S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$