Діедральна група

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедральну групу D_n. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D₈ для знаку «Stop»:

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D₃ (симетрій правильного трикутника). R₀ позначає тотжність; R₁ і R₂ позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S₀, S₁, і S₂ позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

Наприклад, S₂S₁ = R₁ бо відбиття S₁ із наступним відбиттям S₂ утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група D_n має елементи R₀,...,R_n−1 і S₀,...,S_n−1, з композиціями заданими такими формулами:

${\displaystyle R_{i}\,R_{j}=R_{i+j},\;\;\;\;R_{i}\,S_{j}=S_{i+j},\;\;\;\;S_{i}\,R_{j}=S_{i-j},\;\;\;\;S_{i}\,S_{j}=R_{i-j}.}$

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедральної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи D_n у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D₄ можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}}$

Загалом, матрицями для елементів з D_n мають такий вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i}}\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

R_k — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. S_k — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.