Ізотоксальна фігура
Багатогранник, багатокутник або мозаїка є ізотоксальним або реберно-транзитивним, якщо його симетрії діють транзитивно на його ребрах. Неформально це означає, що об'єкт має тільки один вид ребер — якщо дано два ребра, існує паралельне перенесення, поворот і/або дзеркальне відображення, що переводить одне ребро в інше, не змінюючи області, займаної об'єктом.
Термін ізотоксальний походить від грецького τοξον, що означає дуга.
Ізотоксальні багатокутники
Ізотоксальний багатокутник завжди є рівностороннім, але не всі рівносторонні багатокутники ізотоксальні. Багатокутники, двоїсті ізотоксальним багатокутникам є ізогональними багатокутниками.
У загальному випадку ізотоксальный 2n-кутник матиме Dn (*nn) діедральну симетрію. Ромб є реберно-транзитивним багатокутником із симетрією D2 (*22).
Всі правильні багатокутники (правильний трикутник, квадрат і т. д.) ізотоксальні, маючи подвоєний мінімальний порядок симетрії — правильний n-кутник має Dn (*nn) діедральну симетрію. Правильний 2n-кутник є вершинно-транзитивним багатокутником і його вершини можна позначити по черзі двома кольорами, що видаляє осьову симетрію через середину ребер.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ромб | Рівносторонній трикутник | Увігнутий шестикутник | Самоперетинний шестикутник | Опуклий восьмикутник | Правильний п'ятикутник | Самоперетинна (правильна) пентаграма | Самоперетинна декаграма | |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Реберно-транзитивні багатогранники і мозаїки
Правильні багатогранники є ізоедральними (гране-транзитивними), ізогональними (вершинно-транзитивними) і ізотоксальними (реберно-транзитивними). Квазіправильні багатогранники є ізогональними й ізотоксальними, але не ізоедральними. Їхні двоїсті багатогранники ізоедральні й ізотоксальні, але не ізогональні.
| Квазіправильний багатогранник |
Квазіправильний двоїстий багатогранник |
Квазіправильний зірчастий багатогранник |
Квазіправильний двоїстий зірчастий багатогранник |
Квазіправильна мозаїка |
Квазіправильна двоїста мозаїка |
|---|---|---|---|---|---|
 Кубооктаедр є ізогональним і ізотоксальним багатогранником |
 Ромбододекаедр є ізоедральним і ізотоксальним багаторанником |  Великий ікосододекаедр є ізогональним і ізотоксальним зірчастим багатогранником |
 Великий ромбічний тридцятигранник є ізоедральним і ізотоксальним зірчастим багатогранником |
 Тришестикутна мозаїка є ізогональною й ізотоксальною мозаїкою |
 Ромбічна мозаїка є ізоедральною й ізотоксальною мозаїкою із симетрією p6m (*632). |
Не будь-який багатогранник або 2-вимірна мозаїка, що складаються з правильних багатокутників, є ізотоксальними. Наприклад, зрізаний ікосаедр (знайомий нам за футбольним м'ячем) має два типи ребер — шестикутник-шестикутник і шестикутник-п'ятикутник і немає можливості симетрією перевести ребро шестикутник-шестикутник у шестикутник-п'ятикутник.
Ізотоксальний багатокутник має такі самі діедральні кути для всіх ребер.
Існує дев'ять опуклих реберно-транзитивних багатогранників, утворених із правильних багатогранників, 8, утворених з багатогранників Кеплера — Пуансо, і ще шість є квазіправильними зірчастими багатогранниками (3 | p q) і їх двоїстими.
Існує 5 багатокутних реберно-транзитивних мозаїк на евклідовій площині і нескінченно багато на гіперболічній площині, включно з побудовами Візоффа з правильних гіперболічних мозаїк {p, q} і неправильних (p q r) груп.
Примітки
Література
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge University Press, 1997. — С. 371. — ISBN 0-521-55432-2.
- Grünbaum B., Shephard G.C.. 6.4 Isotoxal tilings // Tilings and Patterns. — New York : W. H. Freeman & Co, 1987. — С. 309—321. — ISBN 0-7167-1193-1.
- Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916 (23 лютого). — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.