Розподіл Кантора

Кантора
	Функція розподілу ймовірностей
Параметри	немає
Носій функції	Множина Кантора
Розподіл імовірностей	немає
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	Функція Кантора
Середнє	1/2
Медіана	будь-де у [1/3, 2/3]
Мода	n/a
Дисперсія	1/8
Коефіцієнт асиметрії	0
Коефіцієнт ексцесу	−8/5
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Розподіл Кантора — розподіл ймовірностей, функція розподілу ймовірностей якого якого є функцією Кантора.

Цей розподіл не має ані функції густини ймовірності, ані функції ймовірностей, оскільки, хоча його функція розподілу є неперервною функцією, розподіл не є абсолютно неперервним щодо міри Лебега, а також не має точкових мас. Таким чином, він є ані дискретним, ані абсолютно неперервним розподілом ймовірностей, ані їхнім поєднанням. Він є швидше прикладом сингулярного розподілу.

Характеристика

Носієм розподілу Кантора є множина Кантора, власне перетин (нескінченного числа) множин:

{\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}

Розподіл Кантора — унікальний розподіл ймовірностей, для якого для будь-якого C_t (t ∈ { 0, 1, 2, 3, … }), ймовірність того, що певний інтервал у C_t, що містить розподілену Кантором випадкову величину, дорівнює 2^-t на кожному з 2^t інтервалів.

Моменти

За симетрією легко переконатися, що для випадкової величини X, що має такий розподіл, її очікуване значення E(X) = 1/2, і що всі непарні центральні моменти X є 0.

Закон повної дисперсії може бути використаний для знаходження дисперсії var(X) наступним чином. Для вищевказаного набору C₁ нехай Y=0, якщо X ∈ [0,1/3], і 1, якщо X ∈ [2/3,1]. Тоді:

{\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{з імовірністю}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{з імовірністю}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}

З цього ми отримуємо:

\operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.

Вираз замкнутої форми для будь-якого парного центрального моменту можна знайти, попередньо отримавши парні кумулятори[1]

\kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!

де В_2n є 2n-им числом Бернуллі, а потім виразити моменти як функції кумулянтів.

Примітки

Morrison, Kent (23 липня 1998). Random Walks with Decreasing Steps. Department of Mathematics, California Polytechnic State University. Процитовано 16 лютого 2007.

Джерела

Hewitt, E.; Stromberg, K. (1965). Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. (англ.)
Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity. Proc. A.M.S. 130 (9). с. 2711–2717. (англ.)
Knill, O. (2006). Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press.
Mattilla, P. (1995). Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press. (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Morrison, Kent (23 липня 1998). Random Walks with Decreasing Steps. Department of Mathematics, California Polytechnic State University. Процитовано 16 лютого 2007.