Теорема Каратеодорі про ядро

Нехай послідовність ${\displaystyle f_{n}}$ збігається до функції ${\displaystyle f}$ в одиничному крузі ${\displaystyle \Delta .}$ Розглянемо спочатку випадок ${\displaystyle f(z)\equiv 0}$ і доведемо, що тоді ядро U є точкою ${\displaystyle \{0\}}$ і ${\displaystyle U_{n}=\to \{0\}.}$ Дійсно, в іншому випадку існує круг ${\displaystyle |w|<\rho ,\ \rho >0,}$ що належить всім областям ${\displaystyle U_{n}}$ і для функцій ${\displaystyle f_{n}^{-1}}$ згідно леми Шварца для кола ${\displaystyle |w|<\rho ,}$ отримуємо ${\displaystyle |(f_{n}^{-1}(0))'|\leqslant {1 \over \rho },}$ тобто ${\displaystyle f_{n}'(0)\geqslant \rho .}$

Але тоді згідно теореми Кебе про спотворення, застосованої до функції ${\displaystyle {\frac {f_{n}(z)}{f_{n}'(0)}}}$, в колі ${\displaystyle |z|<1}$ маємо: ${\displaystyle \rho {\frac {|z|}{(1+|z|)^{2}}}\leqslant |f_{n}(z)|,}$ отже, функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ не є збіжними до ${\displaystyle f(z)\equiv 0.}$ Оскільки ті ж міркування можна застосувати і до кожної підпослідовності областей, взятих з ${\displaystyle U_{n}}$ то ${\displaystyle U_{n}\to U=\{0\}.}$

Нехай тепер ${\displaystyle f(z)\not \equiv 0.}$. Тоді з оцінки теореми Кебе:

${\displaystyle |f_{n}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}\leqslant |f_{n}(z)|\leqslant |f_{n}'(0)|{|z| \over (1-|z|)^{2}}}$

випливає, що числа ${\displaystyle f_{n}'(0)}$ є обмеженими, а функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга ${\displaystyle |z|<1.}$ Тому до функцій ${\displaystyle f_{n}(z)}$ можна застосувати теорему Віталі, згідно якої вони рівномірно збігаються на компактних підмножинах круга ${\displaystyle |z|<1}$ до функції ${\displaystyle f(z),}$ яка, згідно наслідку теореми Гурвіца буде однолистою в ${\displaystyle |z|<1.}$

Нехай функція ${\displaystyle w=f(z)}$ відображає одиничний круг на деяку область U, що містить w = 0. Покажемо, що будь-яка замкнута область ${\displaystyle U^{*},}$ що є підмножиною U, є також підмножиною всіх областей ${\displaystyle U_{n},}$ починаючи з деякого n. Нехай ${\displaystyle \delta >0}$ — відстань ${\displaystyle U^{*}}$ до границі U. Покриємо комплексну площину w послідовністю квадратів з довжинами сторін ${\displaystyle \delta /2}$ і розглянемо область ${\displaystyle U_{*}}$ утворену з усіх квадратів, що містять всередині або на границі точки з ${\displaystyle U^{*}.}$ Тоді ${\displaystyle U^{*}\subset U_{*}\subset U.}$ Нехай областям ${\displaystyle U^{*}}$ і ${\displaystyle U_{*}}$ через ${\displaystyle w=f(z)}$ відповідають у ${\displaystyle |z|<1}$ області ${\displaystyle A^{*}}$ і ${\displaystyle A_{*},}$ де також ${\displaystyle A^{*}\subset A_{*}\subset \Delta .}$ Якщо ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ — відстань ${\displaystyle U^{*}}$ до границі області ${\displaystyle U_{*},}$ то на границі області ${\displaystyle A_{*}}$ маємо ${\displaystyle |f(z)-w_{0}|\geqslant \delta _{1},}$ яка б не була точка ${\displaystyle w_{0}\in U^{*}.}$ З іншого боку існує ${\displaystyle N>0}$ таке, що при ${\displaystyle n>N}$ на границі ${\displaystyle A_{*}}$ буде ${\displaystyle |f_{n}(z)-f(z)|<\delta _{1}}$ адже функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ рівномірно збігаються на компактних підмножинах одиничного круга. Отже, при кожному ${\displaystyle n>N}$ функція ${\displaystyle f_{n}(z)-w_{0}}$ згідно теореми Руше, має нуль в області ${\displaystyle A_{*}.}$ Як наслідок образ області ${\displaystyle A_{*}}$ при відображенні ${\displaystyle f_{n}(z)}$ при ${\displaystyle n>N}$ містить будь-яку точку ${\displaystyle w\in U^{*}.}$ Отже, кожна замкнута область, що лежить в U, а відповідно, і кожна замкнута підмножина області U, міститься в усіх областях ${\displaystyle U_{n}}$, починаючи з деякої. Покажемо, що U є найбільшою областю, що володіє цією властивістю.

Нехай ${\displaystyle U'}$ — будь-яка інша область, яка містить ${\displaystyle w=0}$ і володіє тією ж властивістю. Тоді функції ${\displaystyle f_{n}^{-1}}$ будуть визначені на будь-які замкнутій підмножині області ${\displaystyle U'}$ починаючи з деякого n і будуть на ньому рівномірно обмеженими. Тому із ${\displaystyle f_{n}^{-1}}$ можна вибрати підпослідовність, що рівномірно на компактних підмножинах сходиться в області ${\displaystyle U'}$ до голоморфної функції ${\displaystyle F(w),\ F(0)=0,F'(0)\geqslant 0.}$ Більше того ${\displaystyle F'(0)=\lim _{n\to \infty }(f_{n}^{-1})'(0)=\lim _{n\to \infty }{1 \over f'(0)}>0.}$ Тобто функція F не є константою і з теореми Гурвіца випливає, що вона є однолистою на ${\displaystyle U'.}$

Доведемо, що ${\displaystyle F(w)}$ є оберненою функцією до ${\displaystyle f(z).}$ Справді, візьмемо будь-яку точку ${\displaystyle z_{0},\ |z_{0}|<1}$ і нехай ${\displaystyle f(z_{0})=w_{0}\in U.}$ Нехай коло ${\displaystyle |z-z_{0}|=\varepsilon ,\ \varepsilon >0}$ цілком лежить в крузі ${\displaystyle |z|<1.}$ На ньому буде ${\displaystyle |f(z)-w_{0}|>m,\ m>0.}$ З іншого боку, при ${\displaystyle k>K}$ на ${\displaystyle |z-z_{0}|=\varepsilon }$ маємо ${\displaystyle |f_{n_{k}}(z)-f(z)|<m.}$ Згідно теореми Руше функції ${\displaystyle f_{n_{k}}(z)-w_{0}}$ при ${\displaystyle k>K}$ мають в ${\displaystyle |z-z_{0}|<\varepsilon }$ по нулю, які ми позначимо через ${\displaystyle z_{k}.}$ Маємо: ${\displaystyle f_{n_{k}}(z_{k})=w_{0},\ z_{k}=f_{n_{k}}^{-1}(w_{0})}$ для ${\displaystyle k>K.}$ Звідси при ${\displaystyle k\to \infty }$ отримуємо ${\displaystyle z_{k}\to F(w_{0})}$ і тому ${\displaystyle F(w_{0})}$ належить ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant \varepsilon .}$ Зважаючи на довільність ${\displaystyle \varepsilon >0}$ отримуємо ${\displaystyle F(w_{0})=z_{0}.}$ Отже, ми показали, що з ${\displaystyle w_{0}=f'(z_{0})}$ випливає ${\displaystyle F(w_{0})=z_{0},}$ тобто що ${\displaystyle F(w)}$ є оберненою функцією для ${\displaystyle f(z).}$ Так як це міркування можна застосувати і для кожної збіжної підпослідовності функцій з ${\displaystyle f_{n}^{-1},}$ причому завжди граничною функцією буде функція ${\displaystyle F(w)=f^{-1}(w)}$ обернена до ${\displaystyle f(z)}$ то і сама послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}^{-1},}$ сходиться в області ${\displaystyle U'}$ до функції ${\displaystyle f^{-1}(w).}$ Функція ${\displaystyle F(w)}$ відображає область ${\displaystyle U'}$ на деяку область A. Оскільки ${\displaystyle |f_{n}^{-1}|\leqslant 1}$ у ${\displaystyle U_{n}}$ то ${\displaystyle |F(w)|\leqslant 1}$ в ${\displaystyle U'}$, ​​тобто A є підмножиною одиничного круга.

Останнє дає можливість довести, що ${\displaystyle U'\subset U.}$ Дійсно, якщо ${\displaystyle w_{0}\in U'}$ і ${\displaystyle z_{0}=F(w_{0})}$ то ${\displaystyle |z_{0}|<1}$ і, отже, ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0}),}$ тобто кожна точка області ${\displaystyle U'}$ належить і області ${\displaystyle U.}$ Таким чином U є найбільшою областю, яка містить z = 0 і володіє властивістю, що будь-яка її замкнута підмножина належить всім областям ${\displaystyle U_{n},}$ починаючи з деякої, тобто U є ядром для послідовності областей ${\displaystyle U_{n}.}$ Звідси ж випливає, що U має більше однієї граничної точки.

Якщо тепер взяти будь-яку підпослідовність областей ${\displaystyle U_{n_{k}}}$ і до відповідної підпослідовності функцій ${\displaystyle f_{n_{k}}(z)}$ збіжної до функції ${\displaystyle f(z)}$ застосувати попередні висновки, то отримаємо, що функція ${\displaystyle f(z)}$ відображає одиничний круг на ядро ​​цієї нової послідовності областей, яке, відповідно, збігається з ${\displaystyle U.}$. Це показує, що ${\displaystyle U_{n}\to U,}$ що завершує доведення необхідності одночасно додаткових висновки, зазначених в теоремі.

Нехай тепер ${\displaystyle U_{n}\to U}$ і ядро ​​U є точкою ${\displaystyle \{0\}}$ або областю, що має більше однієї граничної точки. Нехай спершу ${\displaystyle U=\{0\}}$. Якби послідовність ${\displaystyle f'_{n}(0)}$ не збігалася до 0, то існувала б підпослідовність для якої ${\displaystyle |f_{n_{k}}'(0)|>\varepsilon ,\ \varepsilon >0.}$ Тоді у ${\displaystyle |z|<1}$ згідно теореми Кебе про спотворення:

${\displaystyle |f_{n_{k}}(z)|\geqslant |f_{n_{k}}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}>{\varepsilon |z| \over (1+|z|)^{2}}}$

отже, ядро ​​U не було б точкою. Але якщо ${\displaystyle f'_{n}(0)\to 0,}$ то з тієї ж теореми:

${\displaystyle |f_{n}(z)|\geqslant |f_{n}'(0)|{|z| \over (1-|z|)^{2}}}$

і тому у ${\displaystyle f_{n}(z)\to 0}$ у ${\displaystyle |z|<1}$, що і доводить твердження у цьому випадку.

Розглянемо тепер випадок, коли ядро ​​U є областю, що має більше однієї граничної точки. Тоді числа ${\displaystyle f_{n}'(0)}$ мають бути обмеженими. В іншому випадку існує підпослідовність ${\displaystyle f_{n_{k}}'(0)\to \infty }$ і з нерівності:

${\displaystyle |f_{n_{k}}(z)|\geqslant |f_{n_{k}}'(0)|{|z| \over (1+|z|)^{2}}}$

випливає, що образи круга ${\displaystyle |z|<1}$ при відображенні функціями ${\displaystyle f_{n_{k}}(z),}$${\displaystyle }$ починаючи з деякого k, містять будь-який заданий круг ${\displaystyle |w|<R,}$ що суперечить збіжності ${\displaystyle U_{n}}$ до ${\displaystyle U.}$ Із цього випливає, що функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга ${\displaystyle |z|<1.}$ Припустимо тепер, що ця послідовність функцій не збігається точці ${\displaystyle z_{0}.}$ Тоді існують дві підпослідовності ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle f_{n_{l}},}$ що збігаються в ${\displaystyle |z|<1}$ до двох різних функцій ${\displaystyle g(z)}$ і ${\displaystyle h(z).}$

Якщо обидві ці функції не є тотожно рівними нулю, то за доведенням необхідності теореми, застосованого до послідовностей ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle f_{n_{l}},}$ отримаємо, що функції${\displaystyle g(z)}$ і ${\displaystyle h(z)}$ відображають круг ${\displaystyle |z|<1}$ на ядро ​​послідовностей областей ${\displaystyle U_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle U_{n_{l}},}$ тобто на область U. Оскільки ${\displaystyle g(0)=0,\ g'(0)>0}$ і ${\displaystyle f(0)=0,\ f'(0)>0}$ то з твердження єдиності у теоремі Рімана про відображення випливає, що ${\displaystyle g(z)\equiv h(z),}$ що суперечить попередньому.

Якщо ж одна з функцій ${\displaystyle g(z)}$ і ${\displaystyle h(z)}$ є тотожно рівною нулю, а інша ні, то застосовуючи доведення необхідності, робимо висновок, що одна з послідовностей областей ${\displaystyle U_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle U_{n_{l}}}$ має ядром точку ${\displaystyle \{0\},}$ а інша — деяку область і тому послідовність областей ${\displaystyle U_{n}}$ не сходиться до ядра. З одержаного протиріччя випливає, що функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ повинні сходиться в крузі ${\displaystyle |z|<1}$ до скінченної функції і згідно теореми Віталі збіжність буде рівномірною на компактних підмножинах у ${\displaystyle |z|<1.}$