Теорема про обернену функцію

У математиці, а саме у диференціальному численні, теорема про обернену функцію позначає достатні умови для того, щоб функція була оберненою в околі точки в її області визначення. Теорема також дає формулу для похідної оберненої функції. В численні багатьох змінних, цю теорему можна узагальнити для неперервно диференційовної, векторзначної функції визначник чийого Якобіана не нуль у точці з її області визначення. У цьому випадку, теорема дає формулу для матриці Якобі оберненої функції. Також існують версії теореми для комплексних голоморфних функцій, для диференційовних відображень між многовидами, для диференційовних функцій між Банаховими просторами і т.д.

Твердження теореми

Для функцій від однієї змінної, теорема стверджує, що якщо $f$ є неперервно диференційовною функцією з ненульовою похідною у точці $a$ , тоді $f$ є оборотною в околі $a$ , обернена функція є неперервно диференційовною і

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}},

де лівий бік рівняння покликається до похідної оберненої функції обчисленій у f(a).

Для функцій більш ніж однієї змінної, теорема стверджує, що якщо повна похідна неперервно диференційовної функції $F$ визначеної з відкритої множині $\mathbb {R} ^{n}$ у $\mathbb {R} ^{n}$ є оборотною у точці $p$ (тобто, визначник матриці Якобі для $F$ у точці $p$ не нуль), тоді $F$ є оборотною функцією поблизу $p$ . Це означає, що обернена для $F$ функція існує у деякому околі $F(p)$ . Більше того, обернена функція $F^{-1}$ також неперервно диференційовна. У випадку нескінченної вимірності потрібно, щоб похідна Фреше мала обмежену обернену у $p$ . Насамкінець, теорема каже, що

J_{F^{-1}}(F(p))=[J_{F}(p)]^{-1},

де $[\cdot ]^{-1}$ позначає обернену матрицю і $J_{F}(p)$ є Якобіаном функції $F$ у точці $p$ . Цю формулу також можна отримати з ланцюгового правила. Ланцюгове правило стверджує, що для функцій $G$ і $H$ які мають повні похідні у $H(p)$ і $p$ відповідно,

J_{G\circ H}(p)=J_{G}(H(p))\cdot J_{H}(p).

Покладаючи $G$ бути $F^{-1}$ і $H$ бути $F$ , $G\circ H$ є тотожною функцією, чия матриця Якобі є одиничною. У цьому особливому випадку, формулу вище можна розв'язати для $J_{F^{-1}}(F(p))$ . Зауважимо, що ланцюгове правило припускає існування повної похідної внутрішньої функції $H$ , тоді як теорема про обернену функцію доводить, що $F^{-1}$ має повну похідну у $p$ . Існування оберненої до $F$ функції тотожне твердженню, що систему з $n$ рівнянь $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ можна розв'язати для $x_{1},\dots ,x_{n}$ у термінах $y_{1},\dots ,y_{n}$ якщо ми обмежимо $x$ і $y$ маленьким околом $p$ і $F(p)$ , відповідно.

Приклад

Розглянемо векторзначну функцію $F$ з $\mathbb {R} ^{2}$ у $\mathbb {R} ^{2}$ визначену як

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.

Матриця Якобі така

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}

і визначник

\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!

Визначник $e^{2x}$ є ненульовим усюди. Але, згідно з теоремою, для кожної точки $p$ у $\mathbb {R} ^{2}$ , існує окіл $p$ на якому $F$ є оборотною. Зауважимо, що це не те саме, що сказати, що $F$ оборотна на всій області значень. У цьому прикладі, $F$ не є оборотною, тому що вона не ін'єктивна (оскільки $f(x,y)=f(x,y+2\pi )$ ).

Узагальнення

Многовиди

Теорему про обернену функцію можна узагальнити до диференційовних відображень між диференційовними многовидами. Тут теорема стверджує, що для диференційовного відображення $F:M\to N$ , якщо диференціал $F$ ,

dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N

є лінійним ізоморфізмом у точці $p$ у $M$ , тоді існує відкритий окіл $U$ точки $p$ такий, що

F|_{U}:U\to F(U)

є дифеоморфізмом. Зауважте, що це має на увазі, що $M$ і $N$ повинні мати однакову вимірність в $p$ . Якщо похідна $F$ — це ізоморфізм в усіх точках $p$ у $M$ , тоді відображення $F$ є локальним дифеоморфізмом.

Банахови простори

Теорему про обернену функцію можна узагальнити для диференційовних відображень між Банаховими просторами. Нехай $X$ і $Y$ будуть Банаховими просторами, а $U$ буде відкритим околом початку координат в $X$ . Нехай $F:U\to Y$ неперервно диференційовна і припустимо, що похідна $dF_{0}:X\to Y$ від $F$ в 0 це обмежений лінійний ізоморфізм $X$ на $Y$ . Тоді існує відкритий окіл $V$ для $F(0)$ в $Y$ і неперервно диференційовне відображення $G:V\to X$ таке, що $F(G(y))=y$ для всіх $y$ з $V$ .

Див. також

Теорема про неявну функцію

Посилання

Lang, Serge (1995). Differential and Riemannian Manifolds. Springer. ISBN 0-387-94338-2.
Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
Nijenhuis, Albert (1974). Strong derivatives and inverse mappings. Amer. Math. Monthly 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298.
Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (вид. Second). New York: Springer-Verlag. с. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (вид. Third). New York: McGraw-Hill Book Co. с. 221–223.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.