Точки Торрічеллі
Точки Торрічеллі — дві точки, з яких усі сторони трикутника видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Ці точки в трикутнику — «парні». Іноді ці точки називають точками Ферма або точками Ферма-Торрічеллі.
- Дві точки Торрічеллі — це точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника:
- з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на протилежних сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;
- з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих на протилежних сторонах всередину трикутника — друга точка Торрічеллі.
Побудова точки Торрічеллі для трикутників з кутами, що не перевершують 120°.
Властивості
- Перша точка Торрічеллі — точка трикутника, з якої всі сторони видно під кутом 120° (за визначенням).
- Перша точка Торрічеллі має найменшу суму відстаней до вершин трикутника. Вона існує тільки в трикутниках з кутами, меншими 120°; при цьому вона єдина і, отже, є окремим випадком точки Ферма, яка існує в будь-якому трикутнику.
- Дві точки Торрічеллі і точка Лемуана лежать на одній прямій.
- Точки Торрічеллі ізогонально спряжені точкам Аполлонія.
- Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія та точку Торрічеллі, відмінну від ізогонально спряженої їй. Такі прямі перетнуться в точці перетину медіан (у центроїді трикутника).
- Теорема Лестер[1]. У будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Торрічеллі, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі.
Гіпербола Кіперта
- Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд трикутника і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їхні вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямих перетнуться в одній точці, що лежить на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників)[2].
Зауваження
На першому малюнку справа центри трьох рівносторонніх трикутників самі є вершинами нового рівностороннього трикутника (теорема Наполеона). Крім того, .
Див. також
- Відрізки та кола, пов'язані з трикутником
- Чудові точки трикутника
- правильний трикутник
- Геометрія трикутника
- Коло
- Коло Лестер
- Теорема Ван-Обеля про трикутник
- Точка Ферма
- Точки Аполлонія
Примітки
- Yiu, 2010, с. 175–209.
- Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М. : МЦНМО, 2011. — С. 125—126. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.
Література
- Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (3 листопада). Процитовано 29 травня 2012.
- Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М. : МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31) (рос.)
Посилання
- Точка Ферма (рос.)
- Точка Торрічеллі (рос.)
- Практичний приклад побудови точки Ферма(англ.)
- Задача Ферма-Торрічеллі і її розвиток (рос.)
- Дм. Єфремов. Новая геометрия треугольника 1902 рік (рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.